1.6 • Espaces préhilbertiens
Les méthodes à retenir
Projection orthogonale sur un sev de dimension finie
• Pour déterminer la projection orthogonale d'un élément x d'un espace préhilbertien E sur un sev F de
dimension finie, on peut :
- soit pressentir ce qu' est Fl.., et décomposer x en x = y+ z où y E F, z E Fl.., d'où l'on concluera PF(x) =y
(ex. 1.6.7 et 1.6.8)
- soit chercher une base orthogonale /1 , ... , fn) de F , et on a alors :
n
PF(x) = L < fk.x > fk
k=l
- soit revenir à la définition.
1.6.7 Soient E = M 2 (JR.) muni du produit scalaire canonique, F = T 2 ,s (JR.) le sev des matrices triangulaires supérieures. Pour A = ( ~ ! ) E E, calculer le projeté
orthogonal de A sur F.
1.6.8 Soient E = M 3 (JR.) muni du produit scalaire canonique, F le sev des matrices antisymétriques,
M = (~ ~ ~).
0 0 0
Déterminer le projeté orthogonal de M sur F et calculer la
distance de M à F.
1.6.6
Norme d'un endomorphisme d'un espace
euclidien
-ci'{ \ Rappelsd'algèbrebilinéaireetd'algèbre
g_;..; sesquilinéaire.
Soient (E , < ., . > ) un espace euclidien (c'est-à-dire préhilbertien réel de dimension finie), 11 · 11
la norme associée à < . , . > .
Rappelons quelques définitions et résultats d'Algèbre (cf. Algèbre et géométrie MP) :
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Exercices 1.6.9à 1.6.11 .
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• Pour tout endomorphisme f de E , il existe un endomorphisme et un seul de E, appelé adjoint
de f et noté f*, tel que :
'v'(x,y) E E
2 ,
< f(x),y > = < x,f*(y) > .
•On a, pour tout À de lR. et tous f ,g de /:,(E) :
(Àf + g)*=V*+g* , (IdE)*=IdE, (g o f)*=f* o g*, (f*)*=f.
•Pour toutf de /:,(E) et toute b.o.n. B de E , on a:
•Pour tout f de /:,(E) :
rg(f*) = rg(f) , tr(f*) = tr(f) , det(f*) = det(f) , Sp~ (f * ) = Sp~(f) .
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