Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1 La norme 111 · 111 sur L:( E) est ici la
\J._.. norme subordonnée à la norme
euclidienne Il · 11 sur E.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N ,.,
Par définition, p(f) = Max IÀI.
@ j
ÀESpc
.:C
Comme/ est symétrique positif, on a:
.g1
p(f) = Max À ?;: O.
>ÀESpR(J)
o.
0
u
96
•On dit qu'un endomorphisme f de E est symétrique (ou : auto-adjoint) si et seulement si :
J* = f
• Un endomorphisme symétrique f de E est dit symétrique positif si et seulement si :
'Vx E E , < x,f(x) >?:= O.
Pour tout endomorphisme symétrique f de E , il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice
de f est diagonale (réelle).
•Pour qu'un endomorphisme symétrique f de E soit symétrique positif, il faut et il suffit que :
Rappelons aussi (cf. 1.2.5 p. 53 et 1.3.2 Prop. 1 p. 64) :
•Tout endomorphisme de E est continu: .C(E) = .CC(E).
•Pour toutf de .C(E), on note 11 1! 111 = Sup ll f(x) ll .
llxllo;; I
Caractérisation variationnelle de
~~~~~~~~~~---...
V/ E .l(E), 111/111 =
Sup
1 < f(x),y > I·
llx ll o;; I,l ly ll o;; I
Preuve
1) Soit (x , y) E E
2 tel que l lx 11 ~ 1 et l IY 11 ~ 1. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
1 < f(x),y > 1 ~ llf(x)l l ll Yll ~ lll f lll llx ll llYl l ~ ll lf lll.
Ceci montre que
Sup
1< f(x) ,y >1 existe et est ~ 111 !111.
llxllo;; l ,llYllo;; l
2)Soitx E Etelque llx ll ~ l.
.
f (x)
S1f(x) i= 0, en notant y = llf(x)ll ' on a:
llx ll ~ 1, lly ll ~ 1, 1 < f(x),y > 1 = ll f(x) ll .
Sif(x) = 0, en notant y= 0, on a:
llxl l ~ 1, ll Yl l ~ 1, 1 < f(x), y > 1=0 = llf(x)ll.
Ceci montre que, pour tout x de E tel que l lx 11 ~ 1, il existe y E E tel que :
llYll ~ 1 et llf(x) ll ~ 1 < f(x) , y > 1.
Il en résulte: 111 ! 111 ~
Sup
1 < f(x) ,y > 1.
llxllo;; l ,llYl lo;; I
Pour tout endomorphisme symétrique positif f de E, on a :
111/111 = Sup < f(x),x > = p(f),
llxll o;; I
où p(f) désigne le rayon spectral de f
Preuve
•
On sait qu'il existe une b.o.n. B = ( e 1 , ••• ,en) de E formée de vecteurs propres de f. Pour chaque k de
{ 1, ... ,n}, notons Àk la valeur propre de f associée au vecteur propre ek.
1 La norme 111 · 111 sur L:( E) est ici la
\J._.. norme subordonnée à la norme
euclidienne Il · 11 sur E.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N ,.,
Par définition, p(f) = Max IÀI.
@ j
ÀESpc
.:C
Comme/ est symétrique positif, on a:
.g1
p(f) = Max À ?;: O.
>ÀESpR(J)
o.
0
u
96
•On dit qu'un endomorphisme f de E est symétrique (ou : auto-adjoint) si et seulement si :
J* = f
• Un endomorphisme symétrique f de E est dit symétrique positif si et seulement si :
'Vx E E , < x,f(x) >?:= O.
Pour tout endomorphisme symétrique f de E , il existe une b.o.n. de E dans laquelle la matrice
de f est diagonale (réelle).
•Pour qu'un endomorphisme symétrique f de E soit symétrique positif, il faut et il suffit que :
Rappelons aussi (cf. 1.2.5 p. 53 et 1.3.2 Prop. 1 p. 64) :
•Tout endomorphisme de E est continu: .C(E) = .CC(E).
•Pour toutf de .C(E), on note 11 1! 111 = Sup ll f(x) ll .
llxllo;; I
Caractérisation variationnelle de
~~~~~~~~~~---...
V/ E .l(E), 111/111 =
Sup
1 < f(x),y > I·
llx ll o;; I,l ly ll o;; I
Preuve
1) Soit (x , y) E E
2 tel que l lx 11 ~ 1 et l IY 11 ~ 1. D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
1 < f(x),y > 1 ~ llf(x)l l ll Yll ~ lll f lll llx ll llYl l ~ ll lf lll.
Ceci montre que
Sup
1< f(x) ,y >1 existe et est ~ 111 !111.
llxllo;; l ,llYllo;; l
2)Soitx E Etelque llx ll ~ l.
.
f (x)
S1f(x) i= 0, en notant y = llf(x)ll ' on a:
llx ll ~ 1, lly ll ~ 1, 1 < f(x),y > 1 = ll f(x) ll .
Sif(x) = 0, en notant y= 0, on a:
llxl l ~ 1, ll Yl l ~ 1, 1 < f(x), y > 1=0 = llf(x)ll.
Ceci montre que, pour tout x de E tel que l lx 11 ~ 1, il existe y E E tel que :
llYll ~ 1 et llf(x) ll ~ 1 < f(x) , y > 1.
Il en résulte: 111 ! 111 ~
Sup
1 < f(x) ,y > 1.
llxllo;; l ,llYl lo;; I
Pour tout endomorphisme symétrique positif f de E, on a :
111/111 = Sup < f(x),x > = p(f),
llxll o;; I
où p(f) désigne le rayon spectral de f
Preuve
•
On sait qu'il existe une b.o.n. B = ( e 1 , ••• ,en) de E formée de vecteurs propres de f. Pour chaque k de
{ 1, ... ,n}, notons Àk la valeur propre de f associée au vecteur propre ek.