On calcule 11! (x)l I et (f (x),x) en
utilisant la b.o.n. (e 1, . . . , e,,) .
e(f) = Max p,kl = Max Àk,
l ~ k ~n
l ~ k ~n
car tous les Àk sont ?: 0.
1.6 • Espaces préhilbertiens
n
Soitx E Etel que llxl l ~ l,etnotonsx = LXkek.
k= I
On a:
f(x) = t ÀkXkek. llf(x)ll = ( t ).txt )
1
,
k= I
k= I
11
< f (x),x > = L Àkx'f.
k= I
Comme:
et
on déduit :
n22~
11
2 2~
11
2 !
({; Àkxk ) ~ ({;(pC.f)) xk ) =p(f) ([;xk ) ~ p(f)
n
n
n
L ).kxf ~ L p(f)xf = p(f) L Xf ~ p(f),
k= I
k= I
k=I
111!111 ~ p(f) et Sup < f(x) ,x > ~ p(f).
llx l l~ l
D'autre part, il existe k 0 E {1 ,. .. ,n} tel que p(f) = Àk 0 , et alors f(ek 0 ) = p(f)ek 0 , d'où
llf(ek) ll = p(f) et < f(ek 0 ),ek 0 > = p(f) , et donc:
p(f) ~ 111!111 et p(f) ~ Sup < f(x),x > .
l lx l l ~ I
l)VfEl(E),
2) V f E C(E),
1 11!*111 =1 11/111.
Ill!* o !Ill= 111/111
2
.
Preuve
1) D'après la Prop. 1 appliquée à f* puis à f:
111!* 111 =
Sup
1 < J*(x),y > 1 =
Sup
1 < x,f(y) > 1= 11 1!111ll xl l~ l, ll Yl l~ l
llxl l~ l.llY ll~ l
2) Il est clair que f* o f est symétrique positif, d'où, en appliquant la Prop. 2 à f* of:
lllf* o flll = Sup < f* o f(x),x >
llx l l~ l
2
= Sup < f(x),f(x) > = ( Sup llf(x)ll) = 111!111
2 .
llxl l~ I
ll xl l ~ l
•
•
Norme d'un endomorphisme d'un espace euclidien
• Pour déterminer l'adjoint/* d'un endomorphisme/d'un espace euclidien ( E ,< ., . > ) ,on peut revenir à la
définition, et transformer< f(x),y > pour (x ,y) E E 2 , en une expression du type< x,g(y) >où g ne dépend
pas de x et y, et vérifier que g est linéaire (ex. 1.6.9, 1.6.10).
• Pour tout endomorphisme/ d ' un espace euclidien (E,< . , . >),et tout x de E, l'égalité :
< x,f* o f(x) > = llf(x)ll
2
est très utile (ex. 1.6.11 ).
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