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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.6.9 Soit n E N* . On munit M n (IR) du produit scalaire
canonique, et on note f: M n (IR) ~ M n (IR) .
Af--> tA
Que l est l'adjoint f* de f?
1.6.10 Soit n E N*. On munit Mn (IR) du produit scalaire canonique.
a) Pour A ,B E M n(IR), on note/A: M 11 (IR) ~ Mn (IR) et
Mf-->AM
gs: M n(IR) ~ M n(IR) .
Mf-->MB
Déternùner les adjoints .r; et g8.
P 1.1 Caractérisation de la continuité pour
une application multilinéaire
Ce problème P 1.1 étudie une extension du théorème de caractérisation de la
continuité pour les applications linéaires (§ 1.2.5, théorème p. 52) au cas des
applications multilinéaires.
Soient n E N*, E 1 , ••• , En , F des IK-evn,
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) cp est continue
(ii) 3M E IR+ , ' v'(x1 , ... ,x,,) E E1 x ... x En,
llcp(x1 ,. · · ,Xn) ll F ~ MllxillE 1 • ••• • llxnl lE,, ·
P 1.2 Adjoint d'un endomorphisme d'un espace
préhilbertien
Ce problème P 1.2 prolonge l'étude de l'adjoint effectuée en dimension finie
(§ 1.6.6 p. 95) au cas de la dimension infinie.
Soit (E, < ., . > ) un espace préhilbertien.
Soit f E .C(E) ; on dit que f admet un adjoint si et seulement s'il existe g E .C(E) tel que :
'v'(x ,y) E E 2 , < f(x) ,y > = < x,g(y) > .
1) Montrer que, si un élément f de .C(E) admet un adjoint,
alors f admet un adjoint et un seul.
On note f* I' adjoint de f, s'il existe.
b) Soit A E M ,,(IR) ; on note hA : Mn(IR)-----+ M ,,(JR).
M f--> tr(M) A
Déterminer h ~ .
1.6.11 Soient (E, < .,. >) un espace euclidien,/ E .C (E)
tel que f
2 = 0. Montrer :
Ker(f) C Im(f) {:::=:} f + J* E Ç[,(E) .
2) Soient À E OC , f,g E .C(E) admettant des adjoints.
Montrer:
a ) f + g admet un adjoint et (f + g)* = f* + g*
b) Àf admet un adjoint et (Àf)* = À.f*
c) g o f admet un adjoint et (g o f) * = f* o g*
d) f* admet un adjoint et (J*)* = f.
3) Soient F un sev de E , f E .C(E) admettant un adjoint
et tel que f( F) C F. Montrer: J* (F1-) C F 1- .
4) Soit f E C(E) admettant un adjoint. Montrer :
(i) Ker(f) = (Im(f*))1(ii) Ker(f*) = (Im(f))1(iii) Im(f) c (Ker(f*))1(iv) Im(f*) c (Ker(f))1- .
Pour un exemple où les inclusions (iii) et (iv) sont strictes, voir P 4.6 4) p. 308.
5) Soient f,g E .C(E) tels que f admette un adjoint et que
f * o g = O. Montrer:
Ker(f + g) = Ker(f) n Ker(g).
6) Soit f E .CC (E) tel que f admette un adjoint.
Montrer :
a) f* E .CC(E )
b) 111!* 1 11= 111! 111
c) Ill!* o .flll = 111.f o !* Ill = 111!111
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.6.9 Soit n E N* . On munit M n (IR) du produit scalaire
canonique, et on note f: M n (IR) ~ M n (IR) .
Af--> tA
Que l est l'adjoint f* de f?
1.6.10 Soit n E N*. On munit Mn (IR) du produit scalaire canonique.
a) Pour A ,B E M n(IR), on note/A: M 11 (IR) ~ Mn (IR) et
Mf-->AM
gs: M n(IR) ~ M n(IR) .
Mf-->MB
Déternùner les adjoints .r; et g8.
P 1.1 Caractérisation de la continuité pour
une application multilinéaire
Ce problème P 1.1 étudie une extension du théorème de caractérisation de la
continuité pour les applications linéaires (§ 1.2.5, théorème p. 52) au cas des
applications multilinéaires.
Soient n E N*, E 1 , ••• , En , F des IK-evn,
Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) cp est continue
(ii) 3M E IR+ , ' v'(x1 , ... ,x,,) E E1 x ... x En,
llcp(x1 ,. · · ,Xn) ll F ~ MllxillE 1 • ••• • llxnl lE,, ·
P 1.2 Adjoint d'un endomorphisme d'un espace
préhilbertien
Ce problème P 1.2 prolonge l'étude de l'adjoint effectuée en dimension finie
(§ 1.6.6 p. 95) au cas de la dimension infinie.
Soit (E, < ., . > ) un espace préhilbertien.
Soit f E .C(E) ; on dit que f admet un adjoint si et seulement s'il existe g E .C(E) tel que :
'v'(x ,y) E E 2 , < f(x) ,y > = < x,g(y) > .
1) Montrer que, si un élément f de .C(E) admet un adjoint,
alors f admet un adjoint et un seul.
On note f* I' adjoint de f, s'il existe.
b) Soit A E M ,,(IR) ; on note hA : Mn(IR)-----+ M ,,(JR).
M f--> tr(M) A
Déterminer h ~ .
1.6.11 Soient (E, < .,. >) un espace euclidien,/ E .C (E)
tel que f
2 = 0. Montrer :
Ker(f) C Im(f) {:::=:} f + J* E Ç[,(E) .
2) Soient À E OC , f,g E .C(E) admettant des adjoints.
Montrer:
a ) f + g admet un adjoint et (f + g)* = f* + g*
b) Àf admet un adjoint et (Àf)* = À.f*
c) g o f admet un adjoint et (g o f) * = f* o g*
d) f* admet un adjoint et (J*)* = f.
3) Soient F un sev de E , f E .C(E) admettant un adjoint
et tel que f( F) C F. Montrer: J* (F1-) C F 1- .
4) Soit f E C(E) admettant un adjoint. Montrer :
(i) Ker(f) = (Im(f*))1(ii) Ker(f*) = (Im(f))1(iii) Im(f) c (Ker(f*))1(iv) Im(f*) c (Ker(f))1- .
Pour un exemple où les inclusions (iii) et (iv) sont strictes, voir P 4.6 4) p. 308.
5) Soient f,g E .C(E) tels que f admette un adjoint et que
f * o g = O. Montrer:
Ker(f + g) = Ker(f) n Ker(g).
6) Soit f E .CC (E) tel que f admette un adjoint.
Montrer :
a) f* E .CC(E )
b) 111!* 1 11= 111! 111
c) Ill!* o .flll = 111.f o !* Ill = 111!111
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