Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
\JJ Utilisation de 2).
\j Utilisation de 2).
Exercice 1.6.3.
g Cf.Algèbre MPSI, 10.2.1 Cor.3).
fJ ::J
0
(V)
......
0
Exercices 1.6.4, 1.6.S.
Ëchange dans l'ordre des deux
quantificateurs universels.
~ ......, Propriété utile en pratique.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
84
n
n
< x ,y > = < X, LÀiai > = LÀi < X,ai > =0,
i=I
i=I
etdoncx E (Vect(A)).L .Onaainsimontré: A.L C (Vect(A)).L .
4)Soit a E A.Comme: Vx E A..L , < a ,x > = < x ,a > = 0,
ona: a E (A..L)..L .
5) Evident.
6) Six E An A..L , alors, en particulier,< x,x > = 0, d'où x =O.
7) a)• { F C F + G => { p ..L :::> (F + G)..L => F ..L n G ..L :::> (F + G)..L.
G C F + G
G ..L :::> (F + G)..L
R , .
.
p ..L G..L O
{ V.f E F, < x ,f > = 0
• ec1proquement, soit x E
n
. n a: vg E G,
V
< X,g > =O'
Pour tout h de F + G, il existe (f,g) E F x G tel que h = f + g, et donc:
< x,h > = < x,f > + < x,g > = 0, d' où x E (F + G)..L .
b)
{
F n G c F = } { (F n G)J_ :::> p ..L = } (F n G)J_ :::> F J_ + G J_ .
F n G c G
(F n G)J_ :::> GJ_
•
Remarques:
1) Il se peut qu'un sev F de E vérifie : F # F ..L..L (cf. exercice 1.6.4 p. 88).
2) Il se peut que deux sev F , G de E vérifient: (F n G)..L # p ..L + G..L (cf. exercice 1.6.S p. 88).
3) Si E est de dimension finie, alors dim(F..L) = dim(E) - dim(F) et on déduit:
• Pour tout sev F de E, F ..L..L = F
Pour tous sev F,G de E, (F n G) ..L = F ..L + G..L .
Pour toute partie A d'un espace préhilbertien E , Al.. est un sev fermé de E.
Preuve
Soit (xn )nEN une suite dans A ..L , convergeant vers un élément x de E. On a :
Vn E N, Va E A, < x,,,a > = 0,
d'où: Va E A , (Vn EN,< x 11 ,a > = 0).
Comme Xn ~ x et que l'application E ~ lK
noo
y~
est continue (cf. 1.6.2 Prop.4 p. 82),
on déduit < x 11 ,a > ~ < x,a > , d'où < x,a > = 0, et finalement x E A.l.
noo
Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien,(xi )iE/ une famille dans E .
Si {
(~i) i El est orthogonale I ·
V! E / , Xj # 0
alors (xi)iE/ est libre.
Preuve
N
Soient N E N*, À1, . . . ,ÀN E IK, i 1, ... , i N E l deux à deux distincts, tels que L ÀkXik = O.
k= I
\JJ Utilisation de 2).
\j Utilisation de 2).
Exercice 1.6.3.
g Cf.Algèbre MPSI, 10.2.1 Cor.3).
fJ ::J
0
(V)
......
0
Exercices 1.6.4, 1.6.S.
Ëchange dans l'ordre des deux
quantificateurs universels.
~ ......, Propriété utile en pratique.
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
84
n
n
< x ,y > = < X, LÀiai > = LÀi < X,ai > =0,
i=I
i=I
etdoncx E (Vect(A)).L .Onaainsimontré: A.L C (Vect(A)).L .
4)Soit a E A.Comme: Vx E A..L , < a ,x > = < x ,a > = 0,
ona: a E (A..L)..L .
5) Evident.
6) Six E An A..L , alors, en particulier,< x,x > = 0, d'où x =O.
7) a)• { F C F + G => { p ..L :::> (F + G)..L => F ..L n G ..L :::> (F + G)..L.
G C F + G
G ..L :::> (F + G)..L
R , .
.
p ..L G..L O
{ V.f E F, < x ,f > = 0
• ec1proquement, soit x E
n
. n a: vg E G,
V
< X,g > =O'
Pour tout h de F + G, il existe (f,g) E F x G tel que h = f + g, et donc:
< x,h > = < x,f > + < x,g > = 0, d' où x E (F + G)..L .
b)
{
F n G c F = } { (F n G)J_ :::> p ..L = } (F n G)J_ :::> F J_ + G J_ .
F n G c G
(F n G)J_ :::> GJ_
•
Remarques:
1) Il se peut qu'un sev F de E vérifie : F # F ..L..L (cf. exercice 1.6.4 p. 88).
2) Il se peut que deux sev F , G de E vérifient: (F n G)..L # p ..L + G..L (cf. exercice 1.6.S p. 88).
3) Si E est de dimension finie, alors dim(F..L) = dim(E) - dim(F) et on déduit:
• Pour tout sev F de E, F ..L..L = F
Pour tous sev F,G de E, (F n G) ..L = F ..L + G..L .
Pour toute partie A d'un espace préhilbertien E , Al.. est un sev fermé de E.
Preuve
Soit (xn )nEN une suite dans A ..L , convergeant vers un élément x de E. On a :
Vn E N, Va E A, < x,,,a > = 0,
d'où: Va E A , (Vn EN,< x 11 ,a > = 0).
Comme Xn ~ x et que l'application E ~ lK
noo
y~
est continue (cf. 1.6.2 Prop.4 p. 82),
on déduit < x 11 ,a > ~ < x,a > , d'où < x,a > = 0, et finalement x E A.l.
noo
Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien,(xi )iE/ une famille dans E .
Si {
(~i) i El est orthogonale I ·
V! E / , Xj # 0
alors (xi)iE/ est libre.
Preuve
N
Soient N E N*, À1, . . . ,ÀN E IK, i 1, ... , i N E l deux à deux distincts, tels que L ÀkXik = O.
k= I