1.6.3
1
'} \ Rappel de définition:
\.,;.) un espace préhilbertien est un IK-ev
muni d'un produit scalaire.
Propriétés générales de l'orthogonalité
dans un espace préhilbertien.
'l Rappel de notation :
\j.... ~ ( E) désigne l'ensemble des parties
deE.
l
1.6 • Espaces préhilbertiens
Orthogonalité
Soit ( E , < . , . >) un espace préhilbertien.
1) Soit (x,y) E E
2 ; on dit que x est orthogonal à y, et on note x..ly, si et
seulement si : < x ,y > =O.
2) Soient x E E , A E ~(E) ; on dit que x est orthogonal à A, et on note x..lA , si et
seulement si : Va E A , < x ,a > =O.
3) Pour toute A de ~(E), on définit l orthogonal de A, noté A..L :
A..L = {x E E; Va E A, < x,a > = 0}.
4) Une famille (xi)iel d'éléments de E est dite orthogonale si et seulement si :
5) Une famille (xi)iel d'éléments de E est dite orthonormale si et seulement si :
{
(xi)ie/ est orthogonale.
Vi E /, llxil l = 1
Soit ( E, < . , . > ) un espace préhilbertien.
I) Pour toute partie A de E, A..L est un sev de E.
2) V(A ,B) E (~(E))
2
,(A C B ===} A..L :J B ..L ).
3) VA E ~(E) , A ..L = (Vect(A))..L (où Vect(A) est le sev de E engendré par A).
4)VA E ~(E), AC A..L..L .
5) E ..L = {O},
{0}..L = E.
6) V A E ~ ( E) , A n A ..L c { 0} .
7) Pour tous sev F ,G de E:
Preuve
1) • (Va E A , < 0, a > = 0) , donc 0 E A 1- .
•Si À E IK et (x,y) E (A.l) 2 , alors:
Va E A , < ÀX + y,a >=À< x,a > + < y,a > = 0, donc ÀX +y E A.l.
2) Supposons A c B et soit y E 81-. On a: Vb E B , < y,b >= 0 ,
donc a fortiori: Va E A, < y,a > = 0 , d'où y E A.l.
3) •A c Vect(A) , donc A.L :::> (Vect(A)).l , cf. 2).
• La propriété est évidente si A = 0 ; supposons A -=f. 0 . Soit x E A 1- ; pour tout y de Vect(A) , il
n
existe n E N* ,À 1 , ... ,À 0 E IK, a 1 , ••• ,a 11 E A tels que y = L À;a;, d'où:
i=I
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