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82
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Le cou pie (x , y ) est fixé.
Le couple (h ,k ) tend vers le couple
(0,0) .
Exercices
Remarque : Avec les notations ci-dessus, on a vu (cf. 1.6.1 Prop. 5) p. 79) :
V(x,y) E E
2
,
llx + yll
2 + llx - yll
2 = 2(11xll
2 + llyll
2
).
Cette formule est appelée identité (ou : égalité)
du parallélogramme; si ABC D est un parallélogramme d'un plan affine euclidien, alors:
AC
2 + BD
2 = 2(AB
2
+ BC
2 ).
D
c
- X
Il existe des evn ne vérifiant pas l'identité du parallélogramme, donc dont la norme ne peut
pas être associée à un produit scalaire. Par exemple, dans (IR
2 ,11 -lloo), en notant x = (1 ,0),
y = (0, 1), on a: llx + Yll;, + llx - Yl l;, = 2 et 2Cl lx11;, + llYll;,) = 4.
l
i .
. 1
On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet (pour la norme associée au produit scalaire).
Remarques:
1) Tout espace préhilbertien de dimension finie est un espace de Hilbert (cf. 1.4.2 Th. 2 p. 70).
2) Il existe des espaces préhilbertiens non complets.
3) f,
2 est un espace de Hilbert (cf. P 4.6 p. 285).
Soit (E, < ., . > ) un espace préhilbertien.
L'application E 2 -----+ lK est continue.
(x,y )t-?- < X,y>
Preuve
Soient (x ,y) E E
2 ,(h ,k) E E
2 ; on a:
1 < x + h ,y + k > - < x,y > 1= 1 < h ,y > + < x ,k > + < h,k > 1
: : : : ; ; 1 < h ,y > 1+ 1 < x ,k > 1 + 1 < h,k > 1
: : : : ; ; llhll llYl l + llxll llkll + llhll llkll ----+ O.
(h ,k) ---+ (0,0)
•
1.6.1
Identité de polarisation dans le cas complexe
1.6.2 Soient ( E , (. 1 . ) ) un espace préhilbertien, (a,b) E (IR~)
2
,
(un) neN, (vn)neN deux suites dans E telles que:
Soient (E ,q;) un espace préhilbertien complexe,

forme hermitienne associée à q;. Montrer :
3
'v'(x ,y) E E
2 ,
q;(x ,y) = ~ L i-k k=O
Ainsi,

l
'v'n E N, (llun ll ~ a et llv,. 11 ~ b)
(un 1 Vn ) ----+ ab.
noo
Montrer:
llun ll ----+ a et llvnll ----+ b.
1100
1100