pour tout (x,y) de E
2 :
x=O
1
1
1
((x + y)) ï = ((x)ri + ( ou
(3 a E lR+ , y = ax).
On traduit cette dernière condition par : (x, y) est positivement lié.
Preuve
1) S'il existe a E IR+ tel que y = ax, alors :
1
1
1
((x + y)) ï = (((l +a)x)) ï = (1 +a)((x)) ï
1
1
1
1
et
((x)) ï + ((y)) ï = ((x)) ï +a((x )) ï .
1
1
1
2) Réciproquement, supposons : ((x + y )) ï = ((x)) ï + ((y )) ï .
Le cas x = 0 étant d'étude immédiate, supposons x # O. En reprenant le schéma de calcul dans la preuve de l'inégalité de Minkowski, on a :
,
,
,
{ Ré( ((x + y )) ï = ((x )) ï + ((y)) ï {:::::::} Ré((x)(y ).
Comme (Ré(

2 ~ lcp(x ,y) l
2 ~ (x) (y) , on déduit qu'il y a égalité dans l'inégalité de
Cauchy-Schwarz et donc (cf. Prop. 1 p. 80) il existe a E lK tel que y = ax.
On a alors (x) , d'où : {
Ré(a(x)) ~ 0
(Ré(a(x ))) 2 = la l 2 ((x)) 2
{
Ré(a) ~ 0
et donc
(Ré(a))
2 = la(
ce qui prouve a E IR+.
•
Soient (E, L'application 11-11 : E -----+ JE.
est une norme sur E, appelée norme euclidienne
1
n--+((x)) 2
associée à Preuve
Les conditions llh ll = IÀI llx ll et ( llx ll = 0 {:::::::} x = 0) sont immédiates ;
l'inégalité triangulaire l lx + y 11 ~ l lx 11 + 11y11 est l'inégalité de Minkowski.
Ainsi, tout espace préhilbertien est un evn. La distance associée est alors définie par :
d(x ,y) = llx - Yl l = J(x - y ).
•
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