Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
g Choix d'une valeur particulière de À.
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
80
Exercice 1.6.2.
On réutilise la valeur particulière de À
apparue dans la preuve de l'inégalité de
Cauchy-Schwarz.
On a, pour tout (a,b) E lR x lR+ :
a :>:; 0
a:>:; b {==} ou
(a ? 0 et a
2 :>:; b
2 )
2) Cas complexe
On a: 'VÀ E C, (x + Ày) ? 0,
d'où: 'VÀ E C, (y) IÀl
2 + 2Ré(À(x) ? O.
S
"'( ) ...J. 0
1·
1·· ' 1· ' , ' d
'À
• upposons 'I' y -r- , et app 1quons mega 1te prece ente a = - - - :
(y)
"'( ) l 2
_ 2 l 2 + "'(x) >- 0
'I' y ((y))2
(y)
'I'
~ '
d'où -l 2 + (x)(y) ? O.
•Si (y) = 0, alors y = 0 et l'inégalité voulue est évidente.
•
Remarque : Le théorème précédent généralise l'inégalité lx · .YI :;-::; l lxl 111.Y I 1 bien connue
dans JR
2 usuel.
Étude du cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
--Soient (E, lcp(x,y)l
2 = cp(x,x) cp(y,y) {::::::::} (x,y) lié.
Preuve
1) Supposons (x, y) lié ; par exemple, il existe a E OC tel que y = ax. On a alors :
l 2 = l 2 = la 2 = lal
2 ((x))
2
et (x)(ax) = lal
2 ((x))
2 , d'où l'égalité voulue.
2) Réciproquement, supposons: l 2 = • Si y= 0 , alors (x,y) est lié.
• Supposons y i= 0 (donc (y) i= 0). En notant Ào = - calculs dans la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
1
(x + ÀoY) = (y) ((x)(y) - l 2
) = 0,
d'où x + ÀoY = 0, (x,y) est lié.
•
Inégalité de Minkowski
Soient (E,la forme quadratique associée à V(x,y) E E
2 ,
1
1
1
((x + y))ï :;-::; ((x)) ï + ((y))ï.
Preuve
1
1
1
((x +y)) 'i ~ ((x)P +((y)) 2
1
{==:}(x +y)~ (x) + 2((x)(y)) ï +(y)
1
{==:}Ré((x)(y))ï
Ré( {===:} ou
{
Ré ( (Ré( 2 ~ (x)(y).