Utilisation de la semi-linéarité de rp par
rapport à la première place.
Utilisation de la linéarité de rp par
rapport à la deuxième place.
Pour le cas complexe, voir l'exercice 1.6. l
p.82.
1.6.2
Résultat fondamental.
1.6 • Espaces préhilbertiens
2) V(À,µ) E OC 2 , V(x ,y) E E 2 ,
3) V}... E OC, Vx E E, 2 4) V(x,y) E E 2 , V(x,y) E E
2 ,
Preuve
1) On voit, par récurrence sur n: 'v'Y E E, t=I
t=I
d'où:

t=I
j=I
t=I
j=I
2) Cas particulier de 1).
3) et 4) Cas particuliers de 2).
{
(x +y) = (x) + 2Ré(rp(x ,y))+ (y)
5)
, puis additionner.
(x - y)= (x) - 2Ré(rp(x,y)) +(y)
•
Si ( E, la forme quadratique associée à

(x,y) de E
2 :
1
cp(x,y) = 2. ( l
et cp(x,y) = 4
( Ces deux formules, appelées identités de polarisation, montrent que détermine entièrement

.
Inégalités, normes euclidiennes
Inégalité de Cauchy-Schwarz
------- -
-
l
Soient (E ,cp) un espace préhilbertien, (x ,y) E E 2 ; on a:
lcp(x,y)l
2 :::;; cp(x,x)cp(y,y).
Preuve
1) Cas réel
On a:
'v'À E IR, (x + Ày)? 0 ,
d'où :
'v'À E IR, (y))..
2
+ 2rp(x,y)À + (x) ? O.
•Si (y)~ 0 , le trinôme À~ (y)À
2
+ 2rp(x,y)À + (x) est ? 0 sur IR, donc de discriminant
:::;; 0: (rp(x,y))
2 - (x)(y) :::;; O.
• Si (y) = 0 , alors y = 0 et l'inégalité voulue est évidente.
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