Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Ce produit scalaire est très usité dans les
exercices et les problèmes.
't Remarquer la conjugaison sur le premier
\J.., facteur.
Q La continuité de f est ici essentielle.
"'O
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
·;::
>- 0.
0
u
78
Exemple de produit scalaire sur un
espace de suites.
Ces formules sont valables lorsque
IK = JR et lorsque IK = C. Dans le
cas!K = JR,la conjugaison et la notion
de partie réelle s'évanouissent.
Ainsi, M 11 .p(IK)
Le produit scalaire canonique sur M 11 , 1 (JK) ou sur M 1 , 11 (IK) est, à la notation près, le produit scalaire usuel sur ocn. Autrement dit, l'exemple 2) généralise l'exemple 1).
3) Soient (a,b) E IR 2 , tel que a < b , et E = C ([a; b ],JK) le JK -ev des applications continues
de [a; b] dans lK. Considérons l'application rp : E 2 ----+ lK .
J,
b(j,g)i-+ a fg
1 b 1b_ 1b
(i)
f 8 = f 8 = rpCf,8)
a
a
a
(ii) rp(f,) .. 8 1 + 82) = 1b f (À81 + 82) = À 1b 7 8 1 + 1b 7 82
= ÀrpCf,81) + rpCf,82)
(iii) rp(f,f) = 1b 7.t = 1b If 1
2 E IR+
(iv) rp(f,f) = 0 {::::::::} { b lfl
2 = 0 {::::::::} f = 0 , car f est continue
la
(cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Cor. 4 ).
Ceci montre que 4) Généralisation de l'exemple 3)
Avec les mêmes notations qu'en 3), soit p E E telle que:
{
Vx E [a ; b], p(x) E IR+
{x E [a; b]; p (x) = 0} est fini (ou plus généralement, d' intérieur vide).
L'application
(ii), (iii) sont clairement satisfaites comme dans l'exemple 3 ), et, si f E E est telle que
rp(f,f) = 0, alors If 1
2 p = 0, donc f s'annule sur [a ; b] sauf peut-être en un nombre fini de
points (les zéros de p ), puis f s'annule sur [a ; b] par continuité.
5) Nous verrons (4.3.4 2) p. 249) que l'ensemble f 2 des suites (un)n eN à éléments dans lK
telles que la série L lun 1
2 converge est un JK-ev et que l'application 2 )
2 ----+ IK,
n;;,o
+oo
définie par rp((un)neJ\I , (vn )n eN) = L Un Vn, est un produit scalaire sur f
2
.
n=O
Soient E un IK-ev, quadratique associée à
'V(n ,p) E (N*) 2 , 'V() .. J , ... , À. 11 ) E IK.
11 , 'V(J.l1, ... ,J.lp) E JKP,
1=1
j=l
1 ~ 1 ~ 11
J,;;;j ~ p
la forme ~
Ce produit scalaire est très usité dans les
exercices et les problèmes.
't Remarquer la conjugaison sur le premier
\J.., facteur.
Q La continuité de f est ici essentielle.
"'O
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
·;::
>- 0.
0
u
78
Exemple de produit scalaire sur un
espace de suites.
Ces formules sont valables lorsque
IK = JR et lorsque IK = C. Dans le
cas!K = JR,la conjugaison et la notion
de partie réelle s'évanouissent.
Ainsi, M 11 .p(IK)
Le produit scalaire canonique sur M 11 , 1 (JK) ou sur M 1 , 11 (IK) est, à la notation près, le produit scalaire usuel sur ocn. Autrement dit, l'exemple 2) généralise l'exemple 1).
3) Soient (a,b) E IR 2 , tel que a < b , et E = C ([a; b ],JK) le JK -ev des applications continues
de [a; b] dans lK. Considérons l'application rp : E 2 ----+ lK .
J,
b(j,g)i-+ a fg
1 b 1b_ 1b
(i)
f 8 = f 8 = rpCf,8)
a
a
a
(ii) rp(f,) .. 8 1 + 82) = 1b f (À81 + 82) = À 1b 7 8 1 + 1b 7 82
= ÀrpCf,81) + rpCf,82)
(iii) rp(f,f) = 1b 7.t = 1b If 1
2 E IR+
(iv) rp(f,f) = 0 {::::::::} { b lfl
2 = 0 {::::::::} f = 0 , car f est continue
la
(cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Cor. 4 ).
Ceci montre que 4) Généralisation de l'exemple 3)
Avec les mêmes notations qu'en 3), soit p E E telle que:
{
Vx E [a ; b], p(x) E IR+
{x E [a; b]; p (x) = 0} est fini (ou plus généralement, d' intérieur vide).
L'application
(ii), (iii) sont clairement satisfaites comme dans l'exemple 3 ), et, si f E E est telle que
rp(f,f) = 0, alors If 1
2 p = 0, donc f s'annule sur [a ; b] sauf peut-être en un nombre fini de
points (les zéros de p ), puis f s'annule sur [a ; b] par continuité.
5) Nous verrons (4.3.4 2) p. 249) que l'ensemble f 2 des suites (un)n eN à éléments dans lK
telles que la série L lun 1
2 converge est un JK-ev et que l'application 2 )
2 ----+ IK,
n;;,o
+oo
définie par rp((un)neJ\I , (vn )n eN) = L Un Vn, est un produit scalaire sur f
2
.
n=O
Soient E un IK-ev, quadratique associée à
'V(n ,p) E (N*) 2 , 'V() .. J , ... , À. 11 ) E IK.
11 , 'V(J.l1, ... ,J.lp) E JKP,
1=1
j=l
1 ~ 1 ~ 11
J,;;;j ~ p
la forme ~