E 2 ~ ~ (resp. IC) est un produit
scalaire sur E si et seulement si :rp est
bilinéaire symétrique (resp.sesquilinéaire
à symétrie hermitienne) et la forme
quadratique (resp. herm itienne) ip
associée à

Exercice 1.6.1.
Remarquer la conjugaison sur le premier
facteur.
r
Rappels sur la transconjugaison des
\J_... matrices.
'(
Rappels sur la trace des matrices carrées.
~
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
'
Remarquer la transconjugaison sur le
premier facteur.
1.6 • Espaces préhilbertiens
Avec les notations ci-dessus, on exprime:
•la condition (iii) Tix E E, ef>(x) ~ 0, par: if> est positive
•la condition (iv) Tix E E, (ef>(x) = 0 ~ x = 0), par: if> est définie.
1) On appelle espace préhilbertien réel (resp. complexe) tout couple (E , un ffi.-ev (resp. C-ev) et

2) On appelle espace euclidien (resp. hermitien) tout espace préhilbertien réel (resp.
complexe) de dimension finie.
Exemples:
1) Produit scalaire usuel sur ocn, n E N*
n
L'application 2 -----+ OC définie par: kYk
k= I
est un produit scalaire sur OC", appelé produit scalaire usuel (ou : canonique) sur OC" .
2) Produit scalaire canonique sur M,,,p (OC)
Rappels
• M,,,p(OC) est le OC-ev des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients dans OC.
•Pour A= (a;j) 1 ,;;; ,;;n E Mn ,p (OC), on note A* la transconjuguée de A, définie par :
1,;; j ,;; p
A* =
1 A=(a;.i) 1,;; j ,;; p E M p,11(0C).
l ~i ~n
On remarque que, si OC = IR, alors A* =
1
A, transposée de A.
On montre les formules :
(A+ B)* =A*+ B *, (AB)*= B *A*, (ÀA)* = ÀA*, A**= A.
• Pour M = (m;j) i ,;;i,j ,;;n E M 11 (0C) = M,,, 11 (0C), la trace de M, notée tr(M), est
n
l'élément de OC défini par : tr(M) =Lm;; .
On montre les formules :
i = I
tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(ÀA) = Àtr(A), tr(AB) = tr(BA), tr(A*) = tr(A) .
Considérons l'application

(A,B) f---+ tr(A* B )
(i)
(ii) = Àtr(A * B ) + tr(A * B') = À 1
)
(iii) En notant A = (aij )ij, on a :
-~
2
E IR+
lJ
1,;; j :;;; p
(iv) De même: 2 = 0
i,j
~ {V(i,j) E {l , ... ,n) x {l, ... , p), aij = 0) ~A= 0.
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