1.5 ·Connexité par arcs
Solution
Conseils
Commef(U) C GL,,(C) , l'arc continu y joint A et B dans GL,,( On conclut : GL 11 (C) est connexe par arcs.
On a: Vz EU, f( z ) E GL11(1C),
donc:
f(U) c GL11(1C).
b) L'application 'l/J : M,,(JR)-----+ IR, Ar------+ det(A) est continue et
Raisonnement par l'absurde.
'l/J(GL 11 (IR)) = IR*, qui n'est pas connexe par arcs, donc: GL,,(IR) n'est pas connexe
par arcs.
Les méthodes à retenir
Connexité par arcs
• Pour montrer qu'une partie A d'un evn E est connexe par arcs, on peut:
- utiliser la définition, c'est-à-dire montrer que, tout (x,y) E A 2 , il existe un arc (continu) y : [0; 1]-----+ Etel que
y(O) = x, y(l) =y, Vt E [0; l], y(t) E A (cf. ex. 1.5.1, 1.5.3, 1.5.4)
- montrer que A est l'image directe d'une partie connexe par arcs par une application continue, cf. Prop. 2 p. 73.
Exercices
1.5.1 Montrer que, dans tout evn, toutes les boules
ouvertes et toutes les boules fermées sont connexes par
arcs.
1.5.2 Donner un exemple de deux parties A, B de IR telles
que : A est homéomorphe à B, IR - A est connexe par
arcs, IR - B n'est pas connexe par arcs.
1.5.3 Soient E, F deux evn de dimensions finies,
A E Sfl(E), B E Sfl(F). Montrer:
a) si A et B sont connexes par arcs, alors A x B est
connexe par arcs
b) si A x B est connexe par arcs et A et B non vides, alors
A et B sont connexes par arcs.
1.5.4 Soit (Ai)iEI une famille de parties d'un evn de
dimension finie. On suppose que chaque A; est connexe
par arcs et qu'il existe i 0 E I tel que, pour tout i de /,
A; 0 n A; =f:. 0 . Montrer que LJ A; est connexe par arcs.
iEI
Exemple : (IR x Q) U ( {0} x IR) est connexe par arcs.
1.5.5 Soient E un evn de dimension finie, A une partie
connexe par arcs de E, f : A -----+ {O, 1} une application
continue. Montrer que f est constante. (Ici, (0, 1 }est muni
de la distance induite par celle de IR).
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