-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
......,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
74
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
l Théorème des valeurs intermédiaires
Soient A E s.p ( E) ,f : A ----+ ~ une application.
Ce théorème généralise le théorème
des valeurs intermédiaires vu dans
Analyse MPSI, 4.3.3 Th.
Si A est connexe par arcs et f continue, alors fa la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire : f atteint tout réel entre deux réels qu'elle atteint déjà. __ )
Preuve
Puisque A est cpa et f continue, f (A) est cpa, et, comme f (A) est une partie cpa de IR, f (A) est un
intervalle de IR .
Exercice 1.5.5.
e;xetAcice-type tAésolu
GL11 (C) est connexe par arcs
a) Démontrer que GL 11 (1C) est connexe par arcs.
b) Est-ce que GL 11 (IR) est connexe par arcs?
Sohdion
a) Soit (A , B) E (GL,JIC))2.
Considérons les application
f : IC ~ M,,(IC), z ~ f(z) = (1 - z)A + zB

Il est clair que

u = rp1 (IC - {O}) = {z E IC; rp(z) # O} = {z E IC; f(z) E GLll(IC) }.
Puisque

fini.
Conseils
Développement d'un déterminant en fonction de ses termes.

Tl est clair que U, complémentaire dans le plan IC d'un ensemble fini, est connexe En notant (z1, ... ,zp) = Cc (U), et, pour
pararcs.
k E (l , ... ,p}, Uk=Cc Puisque U est connexe par arcs et que f est continue, f ( U) est connexe par arcs.
De plus:
rp(O) = det (A) =f. 0 et rp(l) = det (B) =f. 0,
donc (0,1) E U
2 et (A,B) E {f(U))2_
Puisque f ( U) est connexe par arcs et que A et B sont dans f (U), il existe un arc
continu y joignant A et B dans f (U).
p
• u = n uk
k=I
·chaque Uk est connexe par arcs
• Vk E (l, ... ,p}, U1nuk1' 0.
D'après l'exercice 1.5.4 ci-après, U est
connexe par arcs.
Cf. 1.5.1 Prop. 2.