1 \ Rappelons qu'une partie A d'un !K-ev E
\J.j est dite convexe si et seulement si:
lf(x,y) E A
2 , Vt E [0; 1],
tx+( l -t)yEA.
L'image d 'une partie cpa par une
application continue est cpa.
1.5 · Connexité par arcs
Toute partie convexe de E est connexe par arcs.
Preuve
Soient A une partie convexe de E et (x, y) E A
2 . Puisque A est convexe, pour tout t de [O; 1],
tx + (1 - t)y est dans A , et il est clair que l'application y: [0; l] ----+ A est continue, donc est un
arc joignant x et y dans A.
Ainsi, A est cpa.
t~tx+( 1- t)y
•
Les parties connexes par arcs de IR sont les intervalles.
_ _ _ )
Preuve
1) Comme tout intervalle de IR est une partie convexe de IR, d'après la Proposition précédente, tout intervalle de IR est cpa.
2) Réciproquement, soit A une partie cpa de IR .
Soit (x, y) E A 2 . Il existe un arc y : [0; 1] ----+ A Joignant x et y dans A. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (Analyse MPSI, 4.3.3 Th.), y([O; l]) est un intervalle de IR. Comme
cet intervalle contientx et y , on a: [x; y ] C y([O; l]) CA,
et ainsi A est une partie convexe de IR, donc est un intervalle.
•
Soient X E s.+J(E) , A c X, Fun JK-evn de dimension finie,f: X~ F une application.
Si A est connexe par arcs et f continue, alors f (A) e st connexe par arcs.
Preuve
Soit (u,v) E (!C A))2 ; il existe (x,y) E A
2 tel que u = f(x) et v = f(y).
Puisque A est cpa, il existe un arc y : [O; l]----+ A tel que y(O) = x et y(l) =y.
Alors f o y : [O; l] ----+ f (A) est un arc (car f et y sont continues, donc f o y aussi) joignant u et v, puisque
u = f(x) = f(y(O)) = (f o y)(O)
et v = (f o y) (l).
Exemple:
Pour tout intervalle Ide IR et toute application continue f : I ----+ E, la « courbe » f (/) est
une partie cpa de E.
Par exemple, la parabole {(x,y) E IR
2 ; y2 = x} e st une partie cpa de IR
2 , car c'est l'image
de IR (qui est cpa) par l'application continue f : IR ----+ IR 2 .
y~(y2 ,y)
Remarque:
L'image réciproque d'une partie cpa par une application continue peut ne pas être cpa,
comme le montre l'exemple :f: IR ----+ IR 2 , B = [l ; +oo[xIR. Dans cet exemple, Best cpa
y~(y 2,y)
(car convexe de IR
2 ),maisf1 (B) n'est pas cpa,puisquef1 (B) = ] - oo; -1] u [l ; +oo[.
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\J.j est dite convexe si et seulement si:
lf(x,y) E A
2 , Vt E [0; 1],
tx+( l -t)yEA.
L'image d 'une partie cpa par une
application continue est cpa.
1.5 · Connexité par arcs
Toute partie convexe de E est connexe par arcs.
Preuve
Soient A une partie convexe de E et (x, y) E A
2 . Puisque A est convexe, pour tout t de [O; 1],
tx + (1 - t)y est dans A , et il est clair que l'application y: [0; l] ----+ A est continue, donc est un
arc joignant x et y dans A.
Ainsi, A est cpa.
t~tx+( 1- t)y
•
Les parties connexes par arcs de IR sont les intervalles.
_ _ _ )
Preuve
1) Comme tout intervalle de IR est une partie convexe de IR, d'après la Proposition précédente, tout intervalle de IR est cpa.
2) Réciproquement, soit A une partie cpa de IR .
Soit (x, y) E A 2 . Il existe un arc y : [0; 1] ----+ A Joignant x et y dans A. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (Analyse MPSI, 4.3.3 Th.), y([O; l]) est un intervalle de IR. Comme
cet intervalle contientx et y , on a: [x; y ] C y([O; l]) CA,
et ainsi A est une partie convexe de IR, donc est un intervalle.
•
Soient X E s.+J(E) , A c X, Fun JK-evn de dimension finie,f: X~ F une application.
Si A est connexe par arcs et f continue, alors f (A) e st connexe par arcs.
Preuve
Soit (u,v) E (!C A))2 ; il existe (x,y) E A
2 tel que u = f(x) et v = f(y).
Puisque A est cpa, il existe un arc y : [O; l]----+ A tel que y(O) = x et y(l) =y.
Alors f o y : [O; l] ----+ f (A) est un arc (car f et y sont continues, donc f o y aussi) joignant u et v, puisque
u = f(x) = f(y(O)) = (f o y)(O)
et v = (f o y) (l).
Exemple:
Pour tout intervalle Ide IR et toute application continue f : I ----+ E, la « courbe » f (/) est
une partie cpa de E.
Par exemple, la parabole {(x,y) E IR
2 ; y2 = x} e st une partie cpa de IR
2 , car c'est l'image
de IR (qui est cpa) par l'application continue f : IR ----+ IR 2 .
y~(y2 ,y)
Remarque:
L'image réciproque d'une partie cpa par une application continue peut ne pas être cpa,
comme le montre l'exemple :f: IR ----+ IR 2 , B = [l ; +oo[xIR. Dans cet exemple, Best cpa
y~(y 2,y)
(car convexe de IR
2 ),maisf1 (B) n'est pas cpa,puisquef1 (B) = ] - oo; -1] u [l ; +oo[.
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