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u
72
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Intervention de la condition
S
.
0
.
kPd(uo ,u 1)
O . .
oit e > ; puisque
-----+ , il existe N E N tel que :
1 - k poo
On a alors: \:/(p,r) E N x N*, (p ;?: N ==} d(up,up+r) ~ e),
et donc (u 11 )n eN est de Cauchy dans F.
• Puisque Fest complet, (u 11 )neN converge vers un élément l de F. Commef est
continue (car k-lipschitzienne), on déduit f (u 11 ) -----+ f (l).
1100
Mais d'autre part u 11 + 1 -----+ l. Finalement : f (l) = l.
1100
k
11
k
•
On remarquera les relations d(u 11 ,l) ~ - - d (uo ,u 1) et d(u n,l) ~ - -d(u 11 - J ,Un)
1-k
1 - k
(pour n ;?: 1 ), utiles en vue du Calcul Numérique.
1.5 Connexité par arcs
Pourtout(a,b) E JR 2 tel que a < b,
l'application t ~ a + (b - a )t est
un homéomorphisme de [O; I] sur
[a; b].
On dit que y est un arc joignant x et y
dans A.
Exercices 1.5.1 à 1 .5.4.
Soient (E, 11 · 11) un OC-evn de dimension finie, d la distance associée à 11 • 11 - L'étude qui suit
peut être aisément généralisée au cas d'un evn quelconque.
On appelle ici arc toute application continue y : l -----+ E où lest un intervalle fermé borné de
IR non vide et non réduit à un point.
Au lieu du terme arc, on emploie aussi : chemin, arc continu, chemin continu.
Puisque tout intervalle fermé borné de IR non v ide et non réduit à un point est homéomo rphe à
[O; 1], on peut, dans la définition précédente, remplacer l par [0; 1].
Une partie A de E est dite connexe par arcs si et seulement si, pour tout (x, y)
A 2 , il existe un arc y : [a; b] ----+ Etel que :
{
y(a) =X, y(b) =y
'rit E [a; b] , y(t) E A.
On abrège ici connexe par arcs en : cpa .
Exemple:
X
d~
A
Pour toute application continue y : [O; 1] -----+ E, la «courbe » y ([O; 1]) est une partie cpa
de E.
Par exemple, llJ (= {z E C; lzl = 1)) est une partie cpa de C, car llJ = y([O; 1]) , où
y : [0; 1] -----+ c.
t~exp(2in t)