1.4.3 Soient E un evn, F un sev de E ; montrer que, si F
est de dimension finie, alors F est fermé.
b) (E,N) est-il complet?
1.4.6
On note 1U = {z E C; lzl = l} et
N : C[X] ~ lR l'application définie par
1.4 • Complétude
1.4.4 Soient E un evn et L = {(x,y) E E
2 ; (x ,y) libre}.
Montrer que Lest ouvert dans E
2 .
'v'P E C[X], N(P) = SuplP(z) I.
zEl!J
1.4.5 Soient (a,b) E JR
2 tel que a < b ,E le JR-ev des
applications lipschitziennes de [a ; b] dans lR .
a) Montrer que N est une norme sur C[X].
b) (C[X], N) est -il complet?
a) Montrer que N : E ~ lR définie par :
'v'f E E, N(f) = ll fl loo + Sup lf(x) - f(y) I
(x.vJefa:bJ2
lx - YI
1.4.7 On note e
00 le C-ev des suites (un)n elll de C
111 bornées, muni de 11 .11 00 ; montrer que e
00 est un evn complet et
n'est pas de dimension finie.
est une norme sur E.
1.4.3
- x:j:.y
Supplément :
théorème du point fixe
Théorème du point fixe
Soient F E ~(E),f : F -----+ F une application.
Si F est complète et si f est contractante, alors f admet un point fixe et un seul, et,
{
UQ =a
pour tout a de F , la suite (u 11 )nEN définie par v E iM
_
f ( ) converge vers
vn n, Un + I -
Un
le point fixe de f
Rappelons:
• x est un point fixe de f si et seulement sif (x) = x.
'
~
La condition k < 1 est fondamentale.
• f est contractante si et seulement s'il existe k E [0; 1 [ tel que :
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Sommation d'une progression
géométrique.
V(x,y) E F
2 , d(f(x),f(y)) ~ kd(x ,y).
Preuve
1) Si x ,y sont deux points fixes de f alors: d(x ,y) = d(f (x),f (y)) ~ kd(x , y),
d'où d (x, y) = 0 , puisque k E [O; l [. Ainsi,f admet au plus un point fixe.
2) Montrons que (un)n eN converge vers un point fixe de f.
• Montrons que (un)n eN est de Cauchy dans F. Pour tout n de N :
d'où, par récurrence: d(u,, ,u,, + 1 ) ~ k"d(u 0 ,u 1 ).
Puis, pour tout (p ,r) de N x N* :
r - 1
r - 1
d(up ,Up+r) ::;; Ld(u p+;, Up+i+ 1) ::;; Lkp+i d(uo ,u1)
i=O
i=O
1 - k'
d(uo ,u1)
= kP - - d(uo ,u1) ::;; kP
.
1-k
1-k
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