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0
(V)
......
0
N
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.._,
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Ol
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>- 0.
0
u
70
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Ainsi, l est défini comme limite de la
suite (f (xn ))neN où (x 11 ) 11 eN est une
suite fixée convergeant vers a.
Utilisation de la caractérisation
séquentielle de la continuité en un point
Exercices 1.4.3, 1.4.4.
Puisque (f (x 11 ))n EN est de Cauchy dans F et que Fest complet, (f (x 11 ))nEN
converge vers un élément l de F.
b) Soit (y 11 )n EN une suite (quelconque) dans X convergeant vers a, et soit s > O.
Il existe VE VE(a) tel que: V(x' ,x") E (X n V)2 , dF(f(x' ),f(x")) :::;; s.
Puisque Xn ~ a et y 11 ~ a, il existe N E N tel que :
11 00
1100
(
{
X 11 E V)
Vn E N,
n ?: N ===:} y
11
E V .
On a alors: Vn E N, (n ?: N ===:} dF(f (xn)J(Yn)) :::;; ê) ,
ce qui montre d(f (x 11 ),f(y 11 )) ~O.
noo
Commef(x 11 ) ~ l , on déduitf(y 11 ) ~ l.
noo
noo
Ainsi, pour toute suite (y 11 )nEN dans X convergeant vers a, la suite (f(y 11 )) 11 EN converge vers l. Ceci
montre (cf. 1.2.1 Prop. 3 p. 40) que f admet l pour limite en a.
Remarque: On montre de façon similaire le résultat suivant.
Soient XE 5,p(IR) tel que +oo E Xi" (adhérence de X dans la droite numérique achevée ii h
F un lK-evn complet, f : X ~ F une application. Pour que f admette une limite finie
en +oo, il faut et il suffit que:
Vs > 0,3V E VR(+oo), V(x' ,x" ) E X
2
,
((x
1 ,x
11
) E V
2 ===:} dF(f(x
1 ),f(x
11
)) :::;; s).
Tout evn de dimension finie est complet.
Preuve
Soient E un JK-evn de dimension finie et (u 11 )n EN une suite de Cauchy dans E.
D'après 1.4.1 Prop. 1 p. 67, (u 11 ) 11 est bornée: il existe M E IR~ tel que:
Vn EN, llun ll:::;; M.
Puisque B' (0; M) est une partie fermée bornée de l'evn E de dimension finie, d'après 1.3.2 Th. 2 p. 63,
B' (0; M) est compacte, donc complète (cf. Prop. 3).
Ainsi, (un ) 11 converge dans B' (0; M) , donc dans E, et, finalement, E est complet.
•
Remarques:
1) Il existe des evn complets et qui ne sont pas de dimension finie (cf. ex. 1.4.7 p. 71 ).
2) Il existe des evn non complets (cf. ex. 1.4.6 p. 71 ).).
Les méthodes à retenir
Parties complètes
• Pour montrer, dans un evn de dimension finie, qu'une partie est fermée, on peut essayer de montrer qu' elle est
complète cf. §1.4.2 Cor. p. 68 et Th. 2 p. 70 (ex. 1.4.3).
• Pour montrer qu ' une partie X d'un evn E est complète, on peut:
- soit montrer que E est complet et que X est fermée dans E
- soit montrer que X est compacte
- soit revenir à la définition, et montrer que toute suite de Cauchy dans X converge vers un élément de X (ex. 1.4.5 b )).
• Pour montrer qu'une partie X d'un evn E n'est pas complète, on peut revenir à la définition: essayer de trouver
une suite (xn)n de Cauchy dans X et qui ne converge pas dans X (ex. 1.4.6 b)).
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Ainsi, l est défini comme limite de la
suite (f (xn ))neN où (x 11 ) 11 eN est une
suite fixée convergeant vers a.
Utilisation de la caractérisation
séquentielle de la continuité en un point
Exercices 1.4.3, 1.4.4.
Puisque (f (x 11 ))n EN est de Cauchy dans F et que Fest complet, (f (x 11 ))nEN
converge vers un élément l de F.
b) Soit (y 11 )n EN une suite (quelconque) dans X convergeant vers a, et soit s > O.
Il existe VE VE(a) tel que: V(x' ,x") E (X n V)2 , dF(f(x' ),f(x")) :::;; s.
Puisque Xn ~ a et y 11 ~ a, il existe N E N tel que :
11 00
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Vn E N,
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On a alors: Vn E N, (n ?: N ===:} dF(f (xn)J(Yn)) :::;; ê) ,
ce qui montre d(f (x 11 ),f(y 11 )) ~O.
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Ainsi, pour toute suite (y 11 )nEN dans X convergeant vers a, la suite (f(y 11 )) 11 EN converge vers l. Ceci
montre (cf. 1.2.1 Prop. 3 p. 40) que f admet l pour limite en a.
Remarque: On montre de façon similaire le résultat suivant.
Soient XE 5,p(IR) tel que +oo E Xi" (adhérence de X dans la droite numérique achevée ii h
F un lK-evn complet, f : X ~ F une application. Pour que f admette une limite finie
en +oo, il faut et il suffit que:
Vs > 0,3V E VR(+oo), V(x' ,x" ) E X
2
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2 ===:} dF(f(x
1 ),f(x
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Tout evn de dimension finie est complet.
Preuve
Soient E un JK-evn de dimension finie et (u 11 )n EN une suite de Cauchy dans E.
D'après 1.4.1 Prop. 1 p. 67, (u 11 ) 11 est bornée: il existe M E IR~ tel que:
Vn EN, llun ll:::;; M.
Puisque B' (0; M) est une partie fermée bornée de l'evn E de dimension finie, d'après 1.3.2 Th. 2 p. 63,
B' (0; M) est compacte, donc complète (cf. Prop. 3).
Ainsi, (un ) 11 converge dans B' (0; M) , donc dans E, et, finalement, E est complet.
•
Remarques:
1) Il existe des evn complets et qui ne sont pas de dimension finie (cf. ex. 1.4.7 p. 71 ).
2) Il existe des evn non complets (cf. ex. 1.4.6 p. 71 ).).
Les méthodes à retenir
Parties complètes
• Pour montrer, dans un evn de dimension finie, qu'une partie est fermée, on peut essayer de montrer qu' elle est
complète cf. §1.4.2 Cor. p. 68 et Th. 2 p. 70 (ex. 1.4.3).
• Pour montrer qu ' une partie X d'un evn E est complète, on peut:
- soit montrer que E est complet et que X est fermée dans E
- soit montrer que X est compacte
- soit revenir à la définition, et montrer que toute suite de Cauchy dans X converge vers un élément de X (ex. 1.4.5 b )).
• Pour montrer qu'une partie X d'un evn E n'est pas complète, on peut revenir à la définition: essayer de trouver
une suite (xn)n de Cauchy dans X et qui ne converge pas dans X (ex. 1.4.6 b)).