"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
L'application y est solution de (E) sur ]a; +oo[ si et seul ement
si z est solution, sur ]a; + oo[, de l'ED linéaire du premier ordre :
1
2
2
z - -z - - =O.
p
p
La soluti on générale en z est z : p r---+ Àp 2 - 1, À E IR .
1
Comme z > 0, on a : À > 2 (donc À > 0).
a
Puis, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme
cp' est continue sur ]a ; +oo[ et ne s'annule pas, il existe
ê E {-1, l} tel que :
V p E]a; + oo[,
En déduire
1
ê
Àp - 1
cp(p) = ~ ln(pg +Ji + p2À) + µ,
f(x,y) =~ln( JÀ(x2 + y2) + J i + À(x2 + y2))
+ µ , (À ,µ) E ] al 2 ; +oo [ X IR.
1 re méthode : utilisation du théorème de Taylor-Young à
l'ordre 2
L'application f est de classe c 2 sur ]O; +oo[ X IR et :
1
J;(x ,y) = ~eY ln x
J; (x,y) = ~nx eY ln x ,
{
J; (l ,0) = 0
d'où
J; (l,O) = 0
2
1
J" (x y)= _ l:'._ eyln x + L eyln x
x2
,
x2
x2
puis
J;~ (x ,y) = .!_ey lnx + y ln x ey ln x•
X
X
1;; (x,y) = (lnx)2eyln x
l
f
i/ (1 0 - 0
x2
'
-
d'où
J;~ (l , 0) = 1 .
J'; (l,0) =0
y
Puis: f (x ,y) = f (1 ,0) + ( (x - l)J; (1,0) + yf; ( l ,O))
+ ~ ( (x - 1)
2
t;; (1,0) + 2(x - l)yJ;~ (l ,O)
+y21
1
; 0.o)) +
o
(ex -1)
2 + i ) .
Y
(x,y)>--+( 1,0)
2• méthode : composition de DL à une variable
Ona:
1
=ey( (x - l)+(x- l)s1(x))
f (x ,y) = eY nx
= 1 + y(x - 1) + y (x - l )êJ (x)
+ ll (x - 1,y)ll 2 e2(x ,y) ,
où ê ] -----* 0, &2 -----* o.
0
(0 ,0)
Réponse:
x Y = l +y(x- 1)+
o
( (x-1) 2 +y 2 ).
(x ,y) -->(1 ,0 )
a)• Extremums locaux
f est de classe C 1 sur IR 2 et le seul point critique est (0,0). De
plus f est de classe C 2 sur IR 2 et, en (0, 0) , s 2 - r t = 0.
Mais : V x E IR* ,
(1cx ,O) = 2x
4 > o,
• Extremums globaux
f(x ,0) = 2x
4
~ + oo
x-->+oo
et f (x.~x 2 ) = - x
4
~ -oo.
2
4 x-->+oo
Réponse : f n'admet ni extremum local ni ex tremum
g lobal.
b) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et le seul point critique
est (4- 1,4- 1). De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et, en
(4- !,4- 1 ) , on a r=8, s=4, t=8 , doncs 2 - rt < 0
et r > O.
• f(x,x)=4x 2 +~ ~ + oo
X x -->+oo
et f(x ,x) ---+ - oo.
x ---+ ORéponse : • f admet un extremum local et un seul, e n
( 4- 1 ,4- 1 ) ; c'est un minimum local strict, et
f (4- ~,4- ~) = 12·4- ~ .
• f n'admet pas d'extremum global.
c) Analogue à a).
Réponse : f n'admet ni extremum local ni extremum global.
d) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et les seul s points critiques de f sont (0,0) et (3,3).
De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et :
1
en (0,0) , r = 0, s = - 9, t = 0,
donc s 2 - rt > 0
en (3,3), r = 18, s = -9, t = 18
donc s 2 - rt < 0 et r > O.
• (V x E IR, f (x, 0) = x 3 + 27), donc f n'est ni majorée ni
minorée.
Réponse :• f admet un extremum local et un seul , e n (3,3);
c'est un minimum local strict et f (3 ,3) =O.
• f n'admet pas d'extre mum global.
0
c
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u
L'application y est solution de (E) sur ]a; +oo[ si et seul ement
si z est solution, sur ]a; + oo[, de l'ED linéaire du premier ordre :
1
2
2
z - -z - - =O.
p
p
La soluti on générale en z est z : p r---+ Àp 2 - 1, À E IR .
1
Comme z > 0, on a : À > 2 (donc À > 0).
a
Puis, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme
cp' est continue sur ]a ; +oo[ et ne s'annule pas, il existe
ê E {-1, l} tel que :
V p E]a; + oo[,
En déduire
1
ê
Àp - 1
cp(p) = ~ ln(pg +Ji + p2À) + µ,
f(x,y) =~ln( JÀ(x2 + y2) + J i + À(x2 + y2))
+ µ , (À ,µ) E ] al 2 ; +oo [ X IR.
1 re méthode : utilisation du théorème de Taylor-Young à
l'ordre 2
L'application f est de classe c 2 sur ]O; +oo[ X IR et :
1
J;(x ,y) = ~eY ln x
J; (x,y) = ~nx eY ln x ,
{
J; (l ,0) = 0
d'où
J; (l,O) = 0
2
1
J" (x y)= _ l:'._ eyln x + L eyln x
x2
,
x2
x2
puis
J;~ (x ,y) = .!_ey lnx + y ln x ey ln x•
X
X
1;; (x,y) = (lnx)2eyln x
l
f
i/ (1 0 - 0
x2
'
-
d'où
J;~ (l , 0) = 1 .
J'; (l,0) =0
y
Puis: f (x ,y) = f (1 ,0) + ( (x - l)J; (1,0) + yf; ( l ,O))
+ ~ ( (x - 1)
2
t;; (1,0) + 2(x - l)yJ;~ (l ,O)
+y21
1
; 0.o)) +
o
(ex -1)
2 + i ) .
Y
(x,y)>--+( 1,0)
2• méthode : composition de DL à une variable
Ona:
1
=ey( (x - l)+(x- l)s1(x))
f (x ,y) = eY nx
= 1 + y(x - 1) + y (x - l )êJ (x)
+ ll (x - 1,y)ll 2 e2(x ,y) ,
où ê ] -----* 0, &2 -----* o.
0
(0 ,0)
Réponse:
x Y = l +y(x- 1)+
o
( (x-1) 2 +y 2 ).
(x ,y) -->(1 ,0 )
a)• Extremums locaux
f est de classe C 1 sur IR 2 et le seul point critique est (0,0). De
plus f est de classe C 2 sur IR 2 et, en (0, 0) , s 2 - r t = 0.
Mais : V x E IR* ,
(1cx ,O) = 2x
4 > o,
• Extremums globaux
f(x ,0) = 2x
4
~ + oo
x-->+oo
et f (x.~x 2 ) = - x
4
~ -oo.
2
4 x-->+oo
Réponse : f n'admet ni extremum local ni ex tremum
g lobal.
b) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et le seul point critique
est (4- 1,4- 1). De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et, en
(4- !,4- 1 ) , on a r=8, s=4, t=8 , doncs 2 - rt < 0
et r > O.
• f(x,x)=4x 2 +~ ~ + oo
X x -->+oo
et f(x ,x) ---+ - oo.
x ---+ ORéponse : • f admet un extremum local et un seul, e n
( 4- 1 ,4- 1 ) ; c'est un minimum local strict, et
f (4- ~,4- ~) = 12·4- ~ .
• f n'admet pas d'extremum global.
c) Analogue à a).
Réponse : f n'admet ni extremum local ni extremum global.
d) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et les seul s points critiques de f sont (0,0) et (3,3).
De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et :
1
en (0,0) , r = 0, s = - 9, t = 0,
donc s 2 - rt > 0
en (3,3), r = 18, s = -9, t = 18
donc s 2 - rt < 0 et r > O.
• (V x E IR, f (x, 0) = x 3 + 27), donc f n'est ni majorée ni
minorée.
Réponse :• f admet un extremum local et un seul , e n (3,3);
c'est un minimum local strict et f (3 ,3) =O.
• f n'admet pas d'extre mum global.