"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
on obtient:
{
X > 0
(X,Y) e f(U) {::::::::} IYI < ~x,JX .
3
{
X > 0
De plus, si
I y I < ~X ,jX, P admet un zéro et un seul dans
3
] - ,,/X; ,,/X[, d'où l'unicité de y ; l'unicité de x est évidente.
Réponse:
f (U) = {(X, Y) E IR 2 ; X > 0 et 9Y
2 < 4X 3 } .
De plus, f réalise une bijection de V surf (V).
b) Notons fi : V -----+ f (U) .
(x,y)f---+ f(x,y)
• !1 est de classe C
00 sur l'ouvert V d'après les théorèmes généraux.
•fi est bijective (cf. a)).
•V (x,y) EU,
0 2 I = X - y2 # O.
x-y
D'après le théorème p. 527, on conclut que !1 est un C
00 -difféomorphisme de V surf (V).
a)• : (IR+)2 -----+ IR 2
est un c 2 -difféomorphisme.
(x,y)f---+(lnx , ln y)
•En notant F(u ,v) = f(x ,y) , on a successivement:
af
1 aF
af
l aF
-
- - -,
- -,
ax
X au
ay
y av
a
2 J
a 2 F
1 aF
a
2 J
1 a 2 F
1 aF
- - - - - -
= - - - - - -
ax 2
x 2 au 2
x2 au '
ay2
y2 av2
y2 av
On en déduit que f est solution sur V de l'EDP2 proposée si
et seulement si F est solution sur IR 2 de
a 2 F a 2 F
-
- - - 0
au2
av2 - .
D'après l'exemple 1) p. 529, la solution générale sur IR 2 de
a 2 F a 2 F
- - - - - =Ü est
au2
av2
F: (u,v) f---+ a(u + v) + f3(u - v) oùa,{3 : IR-----+ IR sont
de classe c 2 .
Réponse: f(x,y) = A(xy) + B(~). A,B: IR~-----+ IR
est de classe c 2 .
b) • (x,y) f---+ (x 2 - y,x 2 +y) est un c 2 -difféomorphisme de V sur(U) = {cu,v) E IR 2 ; u +V > o}.
•En notant F(u ,v) = f(x,y), on a successivement:
af = 2 x (aF + aF),
af
aF
aF
- =- - + - ,
ax
au
av
ay
au
av
(
a
2 F
a
2 F
aF)
+2x 2x - -
2
+4x - - +2x -
,
au
au av
av
a 2 f
a 2 F
a 2 F
a 2 F
-
= - - 2 - - + - .
ay2
au2
auav
av2
On en déduit que f est solution sur V de l'EDP2 proposée si
et seulement si Fest solution sur (V) de:
a2p
--=0.
au av
a2F
Comme pour 1) b) p. 529, la solution générale de - - = 0
au av
sur (U) est
F(u ,v) f---+ A(u) + B(v) ,
A , B : IR -----+ IR de classe C 2 .
Réponse: f(x,y) = A(x 2 - y)+ B(x 2 +y),
A, B : IR -----+ IR de classe C 2 sur IR .
ap x ap x
•Montrer - = - ,
ax
p
ay
p
On obtient successivement :
X
p = -cp'(p),
p
xy
xu
s = -cp"(p) - -cp'(p),
p2
p3
Après calculs, f est solution de (E) sur Va si et seulement si
cp' est solution sur ]a; +oo[ de l'ED:
1
1
y'(p) + -y (p) + -y3 (p) =o.
p
p
• Il s'agit d'une ED de Bernoulli. L'application nulle est solution évidente.
Soit y une solution de l'ED telle que y # O. Montrons qu'alors :
V p E]a; +oo[, y(p) #O.
Supposons qu'il existe Pl E]a; +oo[ tel que y(p1) =O.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz (8.2.1 3) Th. p. 437)
1
Y(P1)=0
montre que le problème de Cauchy
1
1 3
y'+ -y+ -y = 0
p
p
admet une solution maximale et une seule, notée YI et que toute
solution de ce problème de Cauchy est restriction de YI.
Il est clair que Yl = 0, donc y= 0, contradiction.
Nous pouvons maintenant considérer z : ]a; +oo[-----+ IR .
Pf---+
1
(y(p))2