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0
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(V)
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N
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Ol
'i:
>0.
0
u
•Considérons, pour tout E > O.
F, ~ 1 (x,y) E 1<
2 ;
(x ~ 0 et
ou
(x > 0 et
y~ 1 + E)
)
y~x+ l+ e)
y
l+ ê
0
Soit (x ,y) E Fe.
'
'
'
X
2
Si (x ~ 0 et y~ 1 + e), alors lfn(x,y)I ~ - - -
1 + nl+e .
Si (x > 0 et y ~ x + 1 + E ),
1
1
alors lfn(x,y)I ~
+ - -
l + nl +e nl +e ·
Ainsi: 'v' (x,y) E F 8 ,
2
lfn(x,y)I ~ I+f'
n
et donc L f 11 converge normalement sur Fe.
11:;. I
•Soient NE N* , (x,y) E JR. 2 tel quex > 0 et y> x + 1.
+oo
2N
On a:
L f,,(x ,y) ~ L f,,(x ,y)
n=N+ I
n=N+ I
2N
>- '°' -->- N
7
L
1 + n Y
7
l + (2N)Y
n=N+ I
N
l
Comme
------+ - , on déduit :
1 + (2N)Y y----->l + 2
Sup 1 ~ fn(x ,y)I ~ ~. etdonc L fn neconvergepas
(x,y)EU n=N+l
2
n;;, l
uniformément sur V.
2) Étude de la somme
Pour tout n de N*, f,, est de classe C
00 sur V et, pour tout f,
de N, il existe un polynôme Pe à coefficients réels, de degré
~ f, tel que :
'v' (x,y) EV,
aefn
X
(lnnlPe(nY)
ayi (x,y) = (1 + n ) (1 + nY)f+I '
puis, pour tout k de N* :
ak+e fn
- X
k+e Pe(nY)
'v'(x,y) EV, - k- e (x,y) - n (lnx)
e 1
.
ax ay
(1 + n Y) +
Comme en 1 ), on montre que, pour tout (k ,f,) de N 2 ,
+oo ak+e fn
0
L -k- · - e converge nomrnlement sur F.
Il= } ax ay
E
Le théorème de dérivation pour les séries d'applications
+oo
(5 .3.5 Th. p. 334) permet de déduire que L f,, est de
n= l
0
classe C
00 sur F pour tout E > 0, puis est de classe C
00
e
sur V.
Réponse: 1)
• L'ensemble de convergence simple de L f 11 est
n;;. I
U ~ 1 (x,y) E 1<
2 ;
(x ~ 0 et
ou
(x > 0 et
• L f 11 converge normalement sur tout
11:;. l
y> 1)
l
y> X+ 1)
1
(x ~ 0 et y ~ 1 + E)
(x,y) E IR 2 ; ou
(x > 0 et y ~ x + 1 + e)
• L !11 ne converge pas uniformément sur V.
n;;. I
+oo
2) L f 11 est de classe C
00 sur V.
n=l
l
i:yy=X
:. = z
X
a) Pour (X, Y, Z) fixé, résoudre
d'inconnue (x ,y ,z), puis exprimer x > 0 et x + y > 0 à l'aide
de X et Y.
On remarquera qu'on explicite ainsi f -
1 •
Réponse:
f(U) = {< x,Y,Z) E JR 3 ; X > Oet 1 +y> o}.
b) • f est de classe C
00 sur l'ouvert V d'après les théorèmes
généraux.
• f est bijective de V dans f (U) et
f- 1 : f(U) ~ V
est de classe C
00 sur
(X,Y,Z)~ ( 1!r• I ~~· I ~~)
J'ouvertf(U) d'après les théorèmes généraux.
a) Soit (X, Y) E IR 2 . On a, pour tout (x,y) de V :
(X,Y) = f(x,y) <:==> y3
.
l
x= X
- -Xy +Y =0
3
Ainsi, (X, Y) E f (V) si et seulement si : X > 0 et l'applicat3
tion P : t r---+ 3
- X t + Y admet au moins un zéro dans
] - ./X; ./X[.
Comme P est strictement décroissante et conti nue sur
[-./X; ./X] et que
2
2
P(-./X) = 3 x.JX + Y, P (./X) = - 3 x.JX +Y,