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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Montrer que est de classe C
00 sur IR et, par composition et produit, f est de
classe C
00 sur IR .
Montrer:
]
n n [2
'v'(x ,y) E -2; 2 ,
x+y
COS - - COS X COS y
f (x,y) =
2 X - y
cos - -
2
]
n n[2 x-y
Remarquer : 'v'(x,y) E -2'2 , cos - 2
- # 0
]
n n [2
Réponse : f est de classe C
00 sur -2; 2 .
a) • f est de classe C
00 sur (IR*) 2 d'après les théorèmes généraux.
•Mo ntrons, par récurre nce sur k + f, que, pour tout (k,f) de
ak+e f
N 2 , - k -, - e existe sur IR 2 , et qu'il ex iste
ax ay
ak ,e E N, f3k ,e E N et un polynôme Pk ,e à quatre indéterminées et à coefficients réel s tels que :
'v'(x,y) E IR 2
ak+e f
axka/ (x,y)
P
X Y e - A e ,.4 e x2 ,.2
(
1
_ _!_ ) __ 1
k,e
, ,
.t
,
•
•
(
1
1 ) k+e+ l
xak.t y fh, t e-:;4 + e - 0
0
si xy # 0
si xy = 0
1) La propriété est vraie lo rsque k + f = 0 (c'est- à-d ire
k = e = O).
2) Supposons-la vraie pour un (k,f) fixé de N 2 .
ak+e+l f
a) D'après les théorèmes généraux, k 1 e est défi nie sur
ax + ay
(IR* ) 2 et a la forme voulue.
ak+ef
{3) - k-J ( • ,0) : IR--+ IR
ax a J
Xl--->Ü
don c, pour tout x d e IR,
ak+e+ i f
k 1
e (x ,0) existe et vaut O.
ax '+ ay
ak+e+ l f
De même, pour tout y de IR, k 1 e (0, y) existe et vaut O.
ax + ay
ak+e+ i f
Le même raisonnement est valable pour k e · 1
.
ax ay +
Ceci montre la propriété pour (k + l ,f) et (k,f + 1).
Finalement, f admet des dérivées partielles successives à tous
ordres et par rapport à to utes places sur IR
2 .
1
b) f (x,y) = - --+--* 0 = f (0,0).
2 x->0
a) 1) Convergences
• L f, 1 converge simpleme nt sur IR 2 - {(0,0)} et diverge en
n;;;, 1
(0,0).
• Pour tout 8 > 0, L f,, converge normalement, donc unin;;;, l
formément, sur {(x,y) E IR 2 ; x2 + y2 ~ 8) .
• L fn ne converge pas uniformé ment sur IR 2 - { (0,0)},
n;;;, 1
puisque:
'v'n EN*,
Sup
lfn(x,y)I = 1.
(x, y) EIR2- { (0 , 0)}
2) Étude de la somme
Pour to ut n de N*, f n : IR 2 ----+ IR
est de classe C
00
(x,y)~e-n(x2+y2)
sur IR 2 et, à l'aide d'une récurrence sur k + f, pour tout (k,f)
de N 2 , il ex iste Pn,k,e E IR[X, Y] tel que :
ak+ef,
(
)
2
n
- n x2+y2
'v' (x,y) E IR , - k- e (x,y) = P,, k e(x,y)e
ax ' ay
' '
Pour tout 8 > 0, on peut utiliser le théorème de dérivation de
la somme d'une série d'applications (5.3.5 Th. p. 334) sur
tout ouvert Us de IR 2 de la forme
Us= {(x,y) E IR
2 ; x
2
+ y2 > 8) , 8 E IR+.
+oo
On en déduit que L f,, est de classe C
00 sur Us pour tout
n=l
+oo
8 > 0 , puis que L fn est de classe C
00 sur IR 2 - { (0,0) }.
n=l
Réponse : 1) • L'ensemble de convergence simple de L fn
n;;;, 1
est IR 2 - {(0,0)}.
• L f,, converge normalement (donc uniforméme nt) sur tout
n;;;, l
{(x ,y) E IR 2 ; x 2 + y 2 ~ 8}, 8 > O.
• L f,, ne converge pas uniformément sur IR 2 - { (0, 0)} .
n;;;, 1
+oo
2) L fn est de classe C
00 sur IR 2 - {(0,0}.
n= l
b) 1) Convergences
• En séparant en cas suivant les signes de x et de y, montrer
que L fn (x, y) converge si et seulement si :
n;;;, 1
(x ,y) EU, où
U = { (x,y) E R
2 ;
(x ~ 0 et y > 1)
l
~: > 0 et y > X+ 1) .
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Montrer que est de classe C
00 sur IR et, par composition et produit, f est de
classe C
00 sur IR .
Montrer:
]
n n [2
'v'(x ,y) E -2; 2 ,
x+y
COS - - COS X COS y
f (x,y) =
2 X - y
cos - -
2
]
n n[2 x-y
Remarquer : 'v'(x,y) E -2'2 , cos - 2
- # 0
]
n n [2
Réponse : f est de classe C
00 sur -2; 2 .
a) • f est de classe C
00 sur (IR*) 2 d'après les théorèmes généraux.
•Mo ntrons, par récurre nce sur k + f, que, pour tout (k,f) de
ak+e f
N 2 , - k -, - e existe sur IR 2 , et qu'il ex iste
ax ay
ak ,e E N, f3k ,e E N et un polynôme Pk ,e à quatre indéterminées et à coefficients réel s tels que :
'v'(x,y) E IR 2
ak+e f
axka/ (x,y)
P
X Y e - A e ,.4 e x2 ,.2
(
1
_ _!_ ) __ 1
k,e
, ,
.t
,
•
•
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1 ) k+e+ l
xak.t y fh, t e-:;4 + e - 0
0
si xy # 0
si xy = 0
1) La propriété est vraie lo rsque k + f = 0 (c'est- à-d ire
k = e = O).
2) Supposons-la vraie pour un (k,f) fixé de N 2 .
ak+e+l f
a) D'après les théorèmes généraux, k 1 e est défi nie sur
ax + ay
(IR* ) 2 et a la forme voulue.
ak+ef
{3) - k-J ( • ,0) : IR--+ IR
ax a J
Xl--->Ü
don c, pour tout x d e IR,
ak+e+ i f
k 1
e (x ,0) existe et vaut O.
ax '+ ay
ak+e+ l f
De même, pour tout y de IR, k 1 e (0, y) existe et vaut O.
ax + ay
ak+e+ i f
Le même raisonnement est valable pour k e · 1
.
ax ay +
Ceci montre la propriété pour (k + l ,f) et (k,f + 1).
Finalement, f admet des dérivées partielles successives à tous
ordres et par rapport à to utes places sur IR
2 .
1
b) f (x,y) = - --+--* 0 = f (0,0).
2 x->0
a) 1) Convergences
• L f, 1 converge simpleme nt sur IR 2 - {(0,0)} et diverge en
n;;;, 1
(0,0).
• Pour tout 8 > 0, L f,, converge normalement, donc unin;;;, l
formément, sur {(x,y) E IR 2 ; x2 + y2 ~ 8) .
• L fn ne converge pas uniformé ment sur IR 2 - { (0,0)},
n;;;, 1
puisque:
'v'n EN*,
Sup
lfn(x,y)I = 1.
(x, y) EIR2- { (0 , 0)}
2) Étude de la somme
Pour to ut n de N*, f n : IR 2 ----+ IR
est de classe C
00
(x,y)~e-n(x2+y2)
sur IR 2 et, à l'aide d'une récurrence sur k + f, pour tout (k,f)
de N 2 , il ex iste Pn,k,e E IR[X, Y] tel que :
ak+ef,
(
)
2
n
- n x2+y2
'v' (x,y) E IR , - k- e (x,y) = P,, k e(x,y)e
ax ' ay
' '
Pour tout 8 > 0, on peut utiliser le théorème de dérivation de
la somme d'une série d'applications (5.3.5 Th. p. 334) sur
tout ouvert Us de IR 2 de la forme
Us= {(x,y) E IR
2 ; x
2
+ y2 > 8) , 8 E IR+.
+oo
On en déduit que L f,, est de classe C
00 sur Us pour tout
n=l
+oo
8 > 0 , puis que L fn est de classe C
00 sur IR 2 - { (0,0) }.
n=l
Réponse : 1) • L'ensemble de convergence simple de L fn
n;;;, 1
est IR 2 - {(0,0)}.
• L f,, converge normalement (donc uniforméme nt) sur tout
n;;;, l
{(x ,y) E IR 2 ; x 2 + y 2 ~ 8}, 8 > O.
• L f,, ne converge pas uniformément sur IR 2 - { (0, 0)} .
n;;;, 1
+oo
2) L fn est de classe C
00 sur IR 2 - {(0,0}.
n= l
b) 1) Convergences
• En séparant en cas suivant les signes de x et de y, montrer
que L fn (x, y) converge si et seulement si :
n;;;, 1
(x ,y) EU, où
U = { (x,y) E R
2 ;
(x ~ 0 et y > 1)
l
~: > 0 et y > X+ 1) .
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