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O'l
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0
u
a) J) • f est de classe C 1 sur IR 2 - { (0,0)} d'après les théorè mes généraux et, pour tout (x ,y) de IR 2 - {(0,0)} :
'
-2y(x2 - y2)(3x2 + y2)
.fy(x,y) =
(
)2
x2 + y2
• f (., 0) : IR ----+ IR, donc .r; (0, 0) existe et vaut O. De même,
x-->x 2
.r; co,O) ex iste et vaut O.
•En passant en polaires (p = J x 2 + y 2 ) on a, pourtout (x ,y)
de IR 2 - {(0,0)}: l.f; (x ,y) I ~ 6p donc
.r;cx,y)
o = .r;co.o).
(x,y) --> (0,0)
De même pour f;.
Ainsi, f est de classe C 1 sur IR 2 .
2) Après calculs: V (x ,y) E IR 2 - {(0,0)},
.r:~ cx, y) = -8xy (x
4 + 4x
2 y
2 - 2y
4 )(x 2 + y
2
r
3
.
En particulier: .r;~ (x ,x) = -3--+-"* 0 ,
x -->0
donc .r;~ n'est pas continue e n (0,0).
Réponse : f est de classe C
1 exactement (c'est-à-dire : f est
de classeC 1 et non de classe C 2 ) sur IR 2 .
b) 1) • f est continue sur IR 2 - {(0,0)} d'après les théorèmes
généraux.
•Pour montrer la continuité en (0,0) utiliser le changement de
variables X = x, Y = y - x 2 , puis le passage en polaires
X = p cos e, Y = psin e.
On obtient:
l.f(x ,y) I =(sin e+ p cos 2 &) 2 p lcos 81
~ (l+p)2p
O.
(x ,y) --> (0,0)
2) • f( • ,0) = IR ----+ IR, donc .f; (0,0) existe et vaut O.
x ~ o
• f est de classe C 1 sur IR 2 - { (0,0)} d'après les théorèmes généraux et :
V (x, y ) E IR 2 - {(0,0)},
1
y
2 (x
2 +(y-x
2 )
2 -x (2x-4x(y-x
2 )))
fx(x ,y ) =
2
En particulier:
(x2+(y-x2)2)
1
12
fx(x ,2x) = - --+-"* O.
25 x--> O
Réponse: f est de classe c 0 exactement sur IR 2 .
1
e
12
- 1
c) 1) Considérons

si t # O
SI t = 0
Il est clair que

1
C
00 sur IR . De plus,

aus si de classe C
00 sur IR .
l
1
On a:
f(x,y) = g(x ,y ) où g : IR ----+ IR est définie par :
1
x2y2
g (x ,y) =
x2 ~ y2
si (x ,y) # (0,0)
si (x ,y) = (0,0)
1
Comme

00 sur IR, f et g ont exacte ment la même classe.
2) Montrer que g est de classe C 1 sur IR 2 et non de classe c 2
sur IR 2 (même démarche que pour a)).
Réponse : f est de classe C 1 exactement sur IR 2 .
d) 1) Etude de •

Vt E IR*,
1
3 . 1
2
1
t
t
Comme 1 (t) ----+ 0 , le théorème « limite de la dérivée »
t-->0
(Analyse MPSI, 5 .2.2 Cor.) montre que

IR et 1 (0) =O.
•

Vt E IR*,
Il
2 . 1
1
. 1

t
t
t
Comme 11 n'a pas de limite en 0,

2) •Par compo sition, f est de classe C 1 sur IR 2 .
• Si f était de classe c 2 sur IR 2 , comme
V x E IR,

3) On peut remarquer de plus que, dans cet exemple , .r;Y et .r;~
sont continues sur IR 2 , puisque :
Réponse : f est de classe C
1 exactement sur IR 2 .
R emarquer :
V(x ,y) E IR 2 , f(x, y ) =

où

1
e
1 - 1
rp(t) =
~
si t = o
V t E IR,
s i t # O