"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
d'où:
D'après les hypothèses sur A :
a
t:.F = 2a11 t:.f + L a;jXj axi (t:.f) =O.
l ~i , j ~n
Les exemples proposés relèvent clairement de l'étude générale
précédente.
n
af
a) On obtient, en notant F =Lx; a-:-:
i=I
x,
n
0
t:.F=2t:.f+ L x;-(t:.f)=O .
. 1 ax;
l=
b) On a : V i E (1, ... ,n},
o
of
- (Rf) = 2x;f + R -;;;- .
a~
o~
puis: V i E {l, ... ,n),
d'où:
a 2
of
o 2 f
- 2
(Rf) = 2f +4x; -
+ R - 2
,
ox.
ax;
ox.
'
'
n
of
t:.(Rf) = 2nf +4 LX; - , puisque t:.f =O .
i= I
ax;
En utilisant a), on conclut :
On a:
af = 2x 2
+ y2 ) , of = 2y 2
+ y2 ) '
ax
z2
z2
oy
z2
z2
af
2(x2 + y2) 1 ( x2 + y2 )
az
z3
'P
z2
'
d'où:
a2 f = 4x2 ox2
z4
z2
z2
z2
-
- -
+ - o2f
4y2
(x2+y2)
2
( x2+y2 )
a y2 - z4
z2
z2
z2
02 f = 4(x2 + y2)2 oz2
z6
z2
6(x2 + y2) '(x2 + y2 )
+
4
2
'
z
z
et donc:
(
~ 6(x2 + y2) ) ' ( x2 + y2 )
+ 2+
4
2
.
z
z
z
x2 + y2
En utilisant t =
2
, on a :
z
t:.f = 0 4=? (V t E]O; +oo[,
2t(t + l) 11 (t) + (2 + 3t) 1 (t) = 0).
Résoudre l'ED obtenue, linéaire du premier ordre en rp' .
Réponse:
0+1+ 1
1
]O; +oo[~ lR
;
t r---+ Àln (0+1 ) + µ,
1+1-1
(À,µ) E Il<2 l.
a) • f est de classe C
00 sur l'ouvert JR 2 - { (0,0)} d'après les
théorèmes généraux.
• f( • ,0) : IR --. IR, donc f; (0,0) existe et vaut O.
x ~ o
f (0, • ) : IR --. IR, donc f; (0,0) existe et vaut O.
y~ y2
• En notant p = Jx 2 + y 2 , on a, pour tout (x,y)
de lR 2 - {(0,0)}:
donc f;(x,y)
0 et f;(x,y)
O.
(x ,y )_. (0,0)
(x ,y)_. (0 ,0)
Finalement, f est de classe C 1 sur JR 2 .
b) • f; (0, • ) : lR ~ JR , donc f;~ (0,0) existe et vaut 0
y~O
• f; ( •, 0) : lR ~ lR , donc f;~ (0,0) existe et vaut O.
x~o
c) Après calculs :
V(x ,y) E JR 2 - {(0,0)},
En particulier : 1
J:~(x,x) = -1-----+ - l -=j:. 0
x---o
f;xcx,x) = 1 -----+ 1-=j:.0
x ---->0
e t donc f;~ et f ;x ne sont pas continues en (0,0).
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