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0
c
:J
0
(V)
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0
N
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.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Réponse: f (x,y) = À ( J x2 + y2 ) ea Arctan ~ ,
À :JO; +oo[---+ IR de classe C 1 .
j) Dans cet exemple, l'application (x ,y) t----+ (u , v) n'est pas explicitée ; elle est explicitable avec des radicaux . Nous allons
mener le calcul de façon à éviter de dériver ces radicaux.
En notant F (u,v) = f(x,y), on a:
[
~: = u :~ + ~ :~
a F
af
u af •
- -v - - - -
av - ax
v2 ay
[
2 x af =uaF +}F
d
' '
ax
au
av
ou
.
af
aF
aF
( 1 +y 2 ) - = v -
- u -
ay
au
av
aF
L'EDPl proposée se ramène à -
= O.
av
,
( [i5)x
Reponse: f(x ,y) =A Y - -
2
,
I +y
A: IR ----+ IRde classe C 1 .
On a, pour tout k de (1 , ... ,n}:
af
n
aF ax;
n
a F
axk = L: ax- axk = L: mik a x- ·
i = I
l
i = I
I
Ainsi, f est solution de (E) sur IRn si et seulement si :
n
( n
a F)
LAk L:m;kaX · =0,
k= l
i = l
'
n ( n
) a F
c'est-à-dire: L
L Akmik a x · =O.
i = I k= I
1
Il suffit de montrer qu'on peut choi sir M pour que :
k= I
n
1
t
Akmlk#-0
V i E {2, ... ,n}, LAkm ik = O.
k= l
0
Vérifier que M =
\
convient.
0
aF
Enfin, la solution générale de - - = 0 sur !Rn est
ax1
F: (XJ , ... ,Xn) t----+ cp(X2, ... , Xn)
où cp: IRn- I ----+ IR est de classe C 1 .
Réponse : la solution générale de (E) sur 1Rn est donnée par
f(XJ , ... ,Xn) = cp x2 - - xi , ... ,Xn - - xi ,
(
A2
An )
A1
A1
où cp : IRn- l ----+ IR est de cl asse C 1 .
Dans l'exemple: f(x,y ,z) = cp(y - 2x, z - 3x),
où cp : IR
2 ----+ IR est de classe C
1 .
D'après les théorèmes généraux, f est de classe C
00 sur JR 3 .
E n notant p : (x,y,z ) t----+ (x 2 + y 2 + z 2 )'!, on obtient, avec
des notations abusives classiques,
If
1 +3p2
fx y = - 3
22xy , ...
p ( 1 + p )
On e n déduit que le déterminant demandé vaut
1
t
2 3
det (l 3 +y V V ),
(p(l + p ))
où y =
En notant (e 1 ,e2 ,e3) la base canonique de M 3, 1 (IR), et en développant par multilinéarité et alternance:
= det (e 1 ,e 2 ,e 3 ) (e1 + yx V , e2 +yy V ,e3 + y z V)
= 1 +y x d et (ei ,e 2 ,e 3 ) (V ,e2,e3) + y y d et (ei ,e 2 ,e 3 i (e 1, V ,e3)
+y z det (ei ,e 2 ,e 3 ) (e1 ,e2, V)
= l + y (x
2 + y2 + z 2 ).
2
Réponse:
1
où p = (x
2 + y2 + z
2
)2.
Fest de classe c 2 sur U et, en utilisant plusieurs fois le théorème de Schwarz :
puis:
a2 F
n
a2 f
a3 f
-
-2 '°'a ·k- - + "\'""' Q " X ' - -
2 -
L
1 ,
.
L
IJ J
2
'
axk
i = I
axkax,
l , ;;;i,j , ;;;n
axk ax;