-0
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a) Soit (X, Y ) E IR 2 . On a, pour tout (x ,y) de IR 2 :
{
x +a sin y= X
f(x ,y) = (X,Y) -F:}
+ b .
y
y
sm x =
{
y= Y - b sinx
-F:}
x+asin (Y-bsin x)-X=O ·
L'application cp : IR ----+ IR
est continue
x f-+x + a sin (Y-b sin x) - X
sur IR et lim cp = -oo, lim cp = + oo.
- OO
+oo
Il en résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu'il existe
x E IR tel que cp(x) = 0; ensuite, y= Y - b sin x.
b) L'application 1 et: 'V x E IR ,
cp' (x) = 1 - ab cosx cos (Y - b sin x).
• Cas labl ::::; 1.
Alors
~ 0 et cp'1 ({0}) C n Z, donc unique, puis y aussi par y = - b sin x +Y. Ainsi, fa ,b est injective.
• Cas lab l > 1.
En pre nant Y= 0 et x 1 = nn (o ù n E Z est te l que
cosx = sgn(ab)), on a cp'(x 1) < 0. Alors valeur au moins trois foi s, et donc f a,b n'est pas injective.
Réponse: fa ,b est injective si et seulement si labl ::::; 1 .
c) 1) Supposons quefa,b soit un C
1 -difféomorphisme de IR
2
sur IR 2 . Alors fa,b est bijective et donc (cf. b)) lab l ::::; 1.
De plus : 'V (x,y) E JR 2 , l 1 0
• 0 (x, y ) E GL2 (lR) , d'où
'V (x,y) E JR 2 , 1 - ab COSX cos y =f. 0,
et donc labl =f. 1.
2) Réciproquement, supposons lab l < 1.
•D'après a) et b), fa ,b est bijective.
• 'V (x ,y) E JR 2 ,
det (11 00 (x,y) ) =
1
1
a co
1
sy 1
b cos x
= 1 - ab cosx cosy =f. O .
D'après 9. 1.6 Th. p. 513 f a,b est un C
1
-difféomorphisme de
JR 2 sur JR 2 .
Réponse: f a,b est un C 1 -difféomorphisme de JR 2 sur JR 2 si
et seulement si lab l < 1.
•Les hypothèses montrent que f (IR) est un intervalle ouvert
de IR et que fi : IR ----+ f (IR) est un C 1 - difféomorphisme.
Xf-+ f(x )
1 •Il est clair que: 4>(IR 2 ) c f (JR) x JR.
• Soient
(x,y )f-+ (11 (x),y-x f1 (x))
1]11 : f (JR) X JR ----+ JR 2
(X,Y)f-+ (f 1
-
1 (X) , Y+ Xf 1
-
1 (X))
Montrer que <1>1 et 1]11 sont de classe c 1 et sont des bijections
réciproques l'une de l'autre.
a) Réponse: f (x ,y) = A(~) , A : IR ----+ IR de classe C
1
•
b) Réponse:
f(x ,y) = ~Jx 4 + y
4
+A (~) ,
A : IR ----+ IR de classe C 1 .
c) Vé rifi er que (x ,y) 1---+ (x 2 - 2xy - y 2 ,y) est un
C 1 -difféomorphisme de U sur
V= { (u ,v) E IR 2 ; u +2v 2 > o}.
Réponse :
f(x,y) = A (x 2 - 2xy - y 2 ),
A : IR ----+ IR de classe C 1 •
d) Réponse:
f (x ,y) = -xy2 + A(xy),
A : IR ----+ IR de classe C 1 .
e) 4>: (e,p) 1---+ (p cose, p sin e) est un C 1 -difféomorphisme de ] -%;% [ x ]O; +oo[ sur U.
Avec des notations classiques :
{
x=pcose
{dx=-psin e de + cose dp
y= psin e ===? dy = p cosede + sin e dp
sine
cose
1
de= - -
d x + - - dy
===?
p
p
dp = cosedx +sin e dy
ax
p
1
ae = - sin e'
===?
ap
- = cose ,
ax
ae
cose
ay
P
ap
.
- = sm e .
ay
On peut aussi obtenfr ces formul es en inversant la matrice
j acobienne de (e,p) 1---+ (p cose,p sin e).
D'où, en notant F(e ,p) = j(x ,y):
1
af = aF ae + aF ap =_sin e aF +coseaF
ax
ae ax
ap ax
p ae
ap
af
cose aF
. a F
- = - - - - + sin e - .
ay
p ae
ap
L'EDPl proposée se ramène à:
a F
-
=a F .
ae
1 765
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a) Soit (X, Y ) E IR 2 . On a, pour tout (x ,y) de IR 2 :
{
x +a sin y= X
f(x ,y) = (X,Y) -F:}
+ b .
y
y
sm x =
{
y= Y - b sinx
-F:}
x+asin (Y-bsin x)-X=O ·
L'application cp : IR ----+ IR
est continue
x f-+x + a sin (Y-b sin x) - X
sur IR et lim cp = -oo, lim cp = + oo.
- OO
+oo
Il en résulte du théorème des valeurs intermédiaires qu'il existe
x E IR tel que cp(x) = 0; ensuite, y= Y - b sin x.
b) L'application 1 et: 'V x E IR ,
cp' (x) = 1 - ab cosx cos (Y - b sin x).
• Cas labl ::::; 1.
Alors
~ 0 et cp'1 ({0}) C n Z, donc unique, puis y aussi par y = - b sin x +Y. Ainsi, fa ,b est injective.
• Cas lab l > 1.
En pre nant Y= 0 et x 1 = nn (o ù n E Z est te l que
cosx = sgn(ab)), on a cp'(x 1) < 0. Alors valeur au moins trois foi s, et donc f a,b n'est pas injective.
Réponse: fa ,b est injective si et seulement si labl ::::; 1 .
c) 1) Supposons quefa,b soit un C
1 -difféomorphisme de IR
2
sur IR 2 . Alors fa,b est bijective et donc (cf. b)) lab l ::::; 1.
De plus : 'V (x,y) E JR 2 , l 1 0
• 0 (x, y ) E GL2 (lR) , d'où
'V (x,y) E JR 2 , 1 - ab COSX cos y =f. 0,
et donc labl =f. 1.
2) Réciproquement, supposons lab l < 1.
•D'après a) et b), fa ,b est bijective.
• 'V (x ,y) E JR 2 ,
det (11 00 (x,y) ) =
1
1
a co
1
sy 1
b cos x
= 1 - ab cosx cosy =f. O .
D'après 9. 1.6 Th. p. 513 f a,b est un C
1
-difféomorphisme de
JR 2 sur JR 2 .
Réponse: f a,b est un C 1 -difféomorphisme de JR 2 sur JR 2 si
et seulement si lab l < 1.
•Les hypothèses montrent que f (IR) est un intervalle ouvert
de IR et que fi : IR ----+ f (IR) est un C 1 - difféomorphisme.
Xf-+ f(x )
1 •Il est clair que: 4>(IR 2 ) c f (JR) x JR.
• Soient
(x,y )f-+ (11 (x),y-x f1 (x))
1]11 : f (JR) X JR ----+ JR 2
(X,Y)f-+ (f 1
-
1 (X) , Y+ Xf 1
-
1 (X))
Montrer que <1>1 et 1]11 sont de classe c 1 et sont des bijections
réciproques l'une de l'autre.
a) Réponse: f (x ,y) = A(~) , A : IR ----+ IR de classe C
1
•
b) Réponse:
f(x ,y) = ~Jx 4 + y
4
+A (~) ,
A : IR ----+ IR de classe C 1 .
c) Vé rifi er que (x ,y) 1---+ (x 2 - 2xy - y 2 ,y) est un
C 1 -difféomorphisme de U sur
V= { (u ,v) E IR 2 ; u +2v 2 > o}.
Réponse :
f(x,y) = A (x 2 - 2xy - y 2 ),
A : IR ----+ IR de classe C 1 •
d) Réponse:
f (x ,y) = -xy2 + A(xy),
A : IR ----+ IR de classe C 1 .
e) 4>: (e,p) 1---+ (p cose, p sin e) est un C 1 -difféomorphisme de ] -%;% [ x ]O; +oo[ sur U.
Avec des notations classiques :
{
x=pcose
{dx=-psin e de + cose dp
y= psin e ===? dy = p cosede + sin e dp
sine
cose
1
de= - -
d x + - - dy
===?
p
p
dp = cosedx +sin e dy
ax
p
1
ae = - sin e'
===?
ap
- = cose ,
ax
ae
cose
ay
P
ap
.
- = sm e .
ay
On peut aussi obtenfr ces formul es en inversant la matrice
j acobienne de (e,p) 1---+ (p cose,p sin e).
D'où, en notant F(e ,p) = j(x ,y):
1
af = aF ae + aF ap =_sin e aF +coseaF
ax
ae ax
ap ax
p ae
ap
af
cose aF
. a F
- = - - - - + sin e - .
ay
p ae
ap
L'EDPl proposée se ramène à:
a F
-
=a F .
ae
1 765