"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
En dérivant par rapport à x et à y, on obtient :
él A
(A , B ) ( : ;
-
ax
él A)
ay
=0 .
él B
ay
Comme: 'v' (x, y ) E IR 2 , ( A(x,y), B(x,y) ) =!= (0,0),
él A
ax (x ,y)
él B
ax (x,y)
on déduit : 'v' (x,y) E IR2 ,
Mais, en utilisant le théorèm e de Schwarz :
él A
ay (x ,y)
él B
ay(x,y)
a A = ~ ( afi ) = ~ ( af1) = _ aB
l
ay
ay
ax
ax
ay
ax
aB = ~ ( ah ) = ~ ( ah ) = aA
ay
ay
ax
ax
ay
ax
et do nc (~~r + (~;r =0,
a A
aA
puis -
= -
=0 .
ax
ay
=O.
Comme IR 2 est convexe, le Corollaire 3 p. 511 montre que A
est constante. De même, B e st constante.
Notons g la rotation de centre 0 (0 , 0) , d'angle e tel que :
cose = A , sin e = B . Alors / - g est de classe C 1 sur IR 2 et,
pour tout (x ,y ) de IR 2 :
l f - g(x ,y) = l 1(x,y ) - J 8 (x,y)
-B) =0.
A
D'après le Corollaire 3 p. 511 , f - g est constante. Ainsi
f = g + f (0,0) est la composée d 'une translation et d'une rotation, donc est une rotatio n du plan.
1) Bijectivité de On a, pour tous x ,y, X , Y de IR :
x+y =
{
y= - x + y
{:::::::} ex - e -x+Y - X = O.
L 'a pplic ation rp: IR ----+ IR
est d e classe C 1
x r-+ex - e-x+Y - X
s ur IR ,
rp
1 (x) =ex+ e - x+Y > 0 p o ur tout x d e IR,
et lim rp = -oo, lim rp = +oo. On en déduit que rp est bi- oo
+oo
jective.
Il existe donc x E IR unique tel que rp(x) = 0 , puis y E IR unique
te l que y = - x + Y .
2) • l
e x
• 'v' (x ,y ) E IR 2 , det(14>(x,y)) =
1
- e Y 1
l
=ex+e Y=rfO.
D'après 9 .1.6 Th. p. 513, sur IR 2 .
M ême méthode qu e po ur l'exercice 9 .1.11 , en utilisant
rp : IR ----+ IR
xr-+x3+3xe 2 +Y -X
a) • f est de classe C 1 sur IR 2 d'après les théorèmes généraux.
•En notant u = ln (x +JI +x2) ,v = ln(y +JI + y2 ) , on
remarque: f(x,y) = (sh (u + v), e
11
+v) .
Ceci montre f = g o

,
(x ,y)r-+ (ln(x+JJ +x2), ln (y+ ,Jî+,Y2))
g : IR2 ----+ IR2
(u , v) r-+ (sh (u+v),e
11 +")
On déduit (cf. 9 .1.3 2) Th. p. 500), pour tout (x ,y) de IR 2 :
l 1 (x ,y ) = 1 8 ((x,y).
Remarquer enfin : 'v' (u ,v) E IR 2 ,
l
ch (u +v)
det (1 8 (u ,v)) = eu+v
ch (u + v) 1 - 0
eu+v
- ·
On peut aussi remarquer que g (u ,v) ne dépend que de u + v .
Réponse: 'v'(x ,y ) E IR 2 , det(11(x ,y)) =0.
b) a ) Réponse:
f (IR
2 ) est une demi-hyperbole.
0
X
2
{3 ) f n'est pas un C 1 -difféomorphisme de IR 2 sur f (IR 2 ) pour
l'une au moins des deux raisons suivantes :
• f n 'est pas injective, car, par exemple, f (0, 1) = f (1 ,0)
• f (IR 2 ) n'est pas un ouvert de IR 2 .
Réponse: non.