"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
a) D'abord, f est continue sur IR 2 - {(0,0) } d'après les théorèmes généraux.
Remarquer : 'v' (x,y) E IR 2 , lf(x,y) I ::.:;; ly l,
et e n déduire : f(x,y) ~ 0 = f(O,O).
(x ,y)-> (0,0)
b) Notons (a,b) = v .
•Si a =fa 0 , on a :
.
f (tv) - f (0,0)
ce qm montre
-----+ O.
t
t -> 0
.
f (tv) - f (0,0)
• S1 a= 0 , alors
= b-----+ b.
t
t -> 0
Ainsi, f admet une dérivée première en (0,0) suivant v et
{
0 si a =fa 0
Dvf( 0,0) =
b si a = 0
c) Notons e : IR 2 - { (0 ,0)} -----+ IR l'application définie par :
1
e(h ,k) = -r====~
J h2 + k2
(
f (h,k) - J co,o) - af (O,O)h - af (O,O)k)
ax
ay
On a:
1
-----+ -
- 1 =fa O.
k -> O+ J2
Ainsi, e(h ,k) -+-+ O,et doncfn'estpas différentiable
(lr,k) ->(0 ,0)
en (0,0).
tre méthode
1) On a, pour tout (x, y, z) de (IR' . p3 :
1
x2 + Y2 - z2 I
{ x2 + y2 + 2xy - z2 ~ 0
::.:;; 1 {:::::::}
2xy
x 2 + y 2 - 2xy - z 2 ::. :;; 0
{:::::::} lx - YI ::.:;; z ::.:;; x +y.
Comme a, b ,c sont les côtés d'un triangle,
a2 + b2 - c2
la - h l ::.:;; c : : . : ; ; a+ b , donc Arccos
existe et de
2ab
même pour les de ux autres termes.
2) Notons U = {(x,y,z) E (JR'~_)3;
lx - y l < z < x + y, ly - zl < x < y+z, lz - x l < y < z + x }
qui est un ouvert de IR3, V= {(x ,y,z) E (IR~)3;
lx-y l ::. :;; z ::.:;; x+y , ly-z l ::. :;; x ::. :;; y+z, lz-x l ::.:;; y ::. :;; z+x},
f : V -----+ IR définie par f = fi + h + h où :
'v' (x ,y ,z) E V ,
x2 + y2- z2
fi (x ,y ,z) = Arccos - - - -
2xy
Y2 + z2 -x2
f2(x,y,z) = Arccos - - - -
2yz
z2 + x2 _ y2
f3(x ,y ,z) = Arccos - - - -
2zx
Les applications fi , h, h sont de classe C 1 sur U et :
aJi
x2 - y 2 + z2
-a (x ,y ,z) = -
rA
X
X .y L'i
'v' (x,y ,z) E U ,
a12
2x
~ (x , y,z) = 01
a13
i- z
2 +x
2
-a (x,y ,z) = -
rA
X
X .y L'i
où L'i= (x +y - z)(y + z - x)(z + x - y)(x +y+ z).
On déduit : 'v' (x ,y,z) E U,
ôf
ax (x,y,z) = 0 ,
et par permutation circulaire :
af
af
'v' (x,y,z) EU, - (x ,y,z) = - (x ,y ,z) = O.
ay
az
D 'après le Corollaire 3 p. 511, on conclut que f est constante
sur U ( U est connexe par arcs, comme Je lecteur s'en convaincra par un schéma).
De plus, comme f est continue sur V et que U C V C U ,
f est alors constante sur V.
1
Et: f( l , 1, 1) = 3 Arccos 2' = rr. Finalement != rr.
2c méthode
On sait que, dans tout triangle A BC,
~
a 2 + b2 - c2
cosC =
2ab
L'expression proposée vaut donc ê + Â + B, c'est-à-dire rr.
Réponse : rr.
Notons fi , h les applications composantes de f :
'v'(x,y) E IR. 2 , f(x ,y) = (!1 (x, y),f2 (x ,y ))
et A = afi B = ah .
ax,
ax
Par hypothèse, puisque d 2
:
(
A(x,y)
'v'(x,y) E IR 2 , l 1 (x,y) =
B (x,y)
et A 2 + B 2 = 1.
- B(x ,y) )
A(x ,y)
1 763