"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
En dérivant, on obtient :
Vx E IR* , f(x)-(f(x) +xf'(x)) = O.
Déduire f' = 0 et vérifier la réciproque.
Réponse : f convient si et seulement si f est constante.
1) Supposons g continue sur IR 2 .
Alors f' est continue sur IR comme composée:
x t----+ (x ,x) t----+ g (x ,x) = f' (x).
2) Réciproquement, supposons f de classe C 1 sur IR .
D'après les théorèmes généraux , g est de classe C 1 (donc continue) sur l'ouvert U = IR 2 - {(x ,x); x E IR}.
Soit a E IR ; nous allons montrer que g est continue en (a ,a).
Soit s > O. Puisque f ' est continue en a, il existe 1' J > 0 tel que :
V t E IR, (lt - a l:::::; 1' J ===} lf ' (t) - f ' (a) I:::::; s ).
Soit(x,y)E IR 2 telque lx - a 1::::; 17 et ly - a !::::; 17.
•Si x =y, alors
lg(x , y) - g(a ,a) I = lf'(x) - f'(a) I:::::; s.
• Six =!=y, d'après le théorème des accroissements finis, il
f (x) - f (y)
ex iste t E lx; yl tel que ·
= f ' (t), et o n a alors
x-y
lt - a l :::::; 1'J, donc
lg(x , y) - g(a,a) I = lf ' (t) - f'(a) I:::::; s.
On a prouvé: Vs > 0, 31'} > 0, V(x,y) E IR 2 ,
({
lx - a l :::::; 1' J ===} lg(x,y) - g(a,a) I :::::; s) ,
ly-a l :::::; 1' J
et donc g est continue en (a,a).
Finalement, g est continue sur IR 2 .
Pour une autre méthode, utilisant une intégrale dépendant d'un
paramètre, voir exercice 3.5.7 p. 203.
Considérons f : JR 3 - {a J ~ lR
1
; . . . . . . . . . . 2
ln ( (x- à)2).
L'application f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 3 - {a} et, pour
tousx,h de IR3 -{a}:
f(x + h) =~ ln ( ( x + li - a)
2
)
= ~ 1n (cx -a)
2 +2 < x -a,h > +ii 2 )
= ~ ln ( (x - a)
2 )
1
(
< x - a,h >
/i
2 )
+- ln 1 + 2
+ --~
2
ex - a) 2
ex - a) 2
X -a -
-
= f(x) + < _ _ 2
,h > + o Cll h ll) ,
!lx - a l!
h->0
ce qui montre :
V x E IR 3 - {a},
~
x-a
gradf(x)= 11x-a11 2 ·
Réponse : une application f convenant est :
x ~~ ln ( cx -a)
2 ) = 1n11x -a 11 .
Montrons, par récurrence sur k :
V XE Mn(IR) , V H E Mn(IR) ,
k-1
1
fk est différentiable sur Mn (IR)
dx fk( H ) = L,xk- l- i HX ;
i=O
(où x 0 = In par convention).
La propriété est immédiate pour k = 1 .
Supposons-la vraie pour un k de N*.
On a, pour X,H E M 11 (IR) :
fk+1 (X+ H) =(X+ H) fk( X + H)
=(X+H)(xk+dxfk(H)+ o Cll H ll))
H->0
= x k+ l + (xd xfkCH) + Hx k) +a(ll H ll)
k
= xk+ 1 + L, xk-i HX ; + o(ll H ll),
i=O
ce qui montre que f k+ 1 est différentiable sur Mn (IR) et
k
d x f k+ 1 : H t----+ L, xk-i H xi.
i=O
Réponse: V XE Mn(IR) , V H E Mn(IR),
k- 1
(dx fk) ( H ) = L, xk- I - ; H xi.
i=O
Pour A= (a;j)ij, H = (h;j)ij de M,,(IR) , on a:
f (A+ H) = det ( (aij + h;j );.i)
=detA+ L A;jhiJ+ o Cll H ll) ,
.
1
. .
H ->0
~ l ,J~ n
e n développant par multilinéarité et alternance en notant Ai.i
le cofacteur de la place (i ,j) dans A.
Comme l'application
H = (hiJ)iJ E M n(IR) t----+ L A;.ihiJ
l ~ i , j ~n
est linéaire, on en déduit que f est différentiable et :
(dAf) (H) =
L, AiJhiJ = tr(ctcomA) H).
l ~ i . j ~n
Réponse: V A E M 11 (IR), V HE M n(IR),
(dAf) ( H) = tr(1com (A)H).
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Vx E IR* , f(x)-(f(x) +xf'(x)) = O.
Déduire f' = 0 et vérifier la réciproque.
Réponse : f convient si et seulement si f est constante.
1) Supposons g continue sur IR 2 .
Alors f' est continue sur IR comme composée:
x t----+ (x ,x) t----+ g (x ,x) = f' (x).
2) Réciproquement, supposons f de classe C 1 sur IR .
D'après les théorèmes généraux , g est de classe C 1 (donc continue) sur l'ouvert U = IR 2 - {(x ,x); x E IR}.
Soit a E IR ; nous allons montrer que g est continue en (a ,a).
Soit s > O. Puisque f ' est continue en a, il existe 1' J > 0 tel que :
V t E IR, (lt - a l:::::; 1' J ===} lf ' (t) - f ' (a) I:::::; s ).
Soit(x,y)E IR 2 telque lx - a 1::::; 17 et ly - a !::::; 17.
•Si x =y, alors
lg(x , y) - g(a ,a) I = lf'(x) - f'(a) I:::::; s.
• Six =!=y, d'après le théorème des accroissements finis, il
f (x) - f (y)
ex iste t E lx; yl tel que ·
= f ' (t), et o n a alors
x-y
lt - a l :::::; 1'J, donc
lg(x , y) - g(a,a) I = lf ' (t) - f'(a) I:::::; s.
On a prouvé: Vs > 0, 31'} > 0, V(x,y) E IR 2 ,
({
lx - a l :::::; 1' J ===} lg(x,y) - g(a,a) I :::::; s) ,
ly-a l :::::; 1' J
et donc g est continue en (a,a).
Finalement, g est continue sur IR 2 .
Pour une autre méthode, utilisant une intégrale dépendant d'un
paramètre, voir exercice 3.5.7 p. 203.
Considérons f : JR 3 - {a J ~ lR
1
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ln ( (x- à)2).
L'application f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 3 - {a} et, pour
tousx,h de IR3 -{a}:
f(x + h) =~ ln ( ( x + li - a)
2
)
= ~ 1n (cx -a)
2 +2 < x -a,h > +ii 2 )
= ~ ln ( (x - a)
2 )
1
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< x - a,h >
/i
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+- ln 1 + 2
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ex - a) 2
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= f(x) + < _ _ 2
,h > + o Cll h ll) ,
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ce qui montre :
V x E IR 3 - {a},
~
x-a
gradf(x)= 11x-a11 2 ·
Réponse : une application f convenant est :
x ~~ ln ( cx -a)
2 ) = 1n11x -a 11 .
Montrons, par récurrence sur k :
V XE Mn(IR) , V H E Mn(IR) ,
k-1
1
fk est différentiable sur Mn (IR)
dx fk( H ) = L,xk- l- i HX ;
i=O
(où x 0 = In par convention).
La propriété est immédiate pour k = 1 .
Supposons-la vraie pour un k de N*.
On a, pour X,H E M 11 (IR) :
fk+1 (X+ H) =(X+ H) fk( X + H)
=(X+H)(xk+dxfk(H)+ o Cll H ll))
H->0
= x k+ l + (xd xfkCH) + Hx k) +a(ll H ll)
k
= xk+ 1 + L, xk-i HX ; + o(ll H ll),
i=O
ce qui montre que f k+ 1 est différentiable sur Mn (IR) et
k
d x f k+ 1 : H t----+ L, xk-i H xi.
i=O
Réponse: V XE Mn(IR) , V H E Mn(IR),
k- 1
(dx fk) ( H ) = L, xk- I - ; H xi.
i=O
Pour A= (a;j)ij, H = (h;j)ij de M,,(IR) , on a:
f (A+ H) = det ( (aij + h;j );.i)
=detA+ L A;jhiJ+ o Cll H ll) ,
.
1
. .
H ->0
~ l ,J~ n
e n développant par multilinéarité et alternance en notant Ai.i
le cofacteur de la place (i ,j) dans A.
Comme l'application
H = (hiJ)iJ E M n(IR) t----+ L A;.ihiJ
l ~ i , j ~n
est linéaire, on en déduit que f est différentiable et :
(dAf) (H) =
L, AiJhiJ = tr(ctcomA) H).
l ~ i . j ~n
Réponse: V A E M 11 (IR), V HE M n(IR),
(dAf) ( H) = tr(1com (A)H).