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0
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0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
On a alo rs, pour tout (x ,y) de [ - 1; 1] 2 - {(0,0)} :
lf(x,y) I
= x2 ~ y2 lx ( rp(y) - yrp'(O))-y ( rp(x) - xrp' (O)) I
~ 2
1
2 ( 1 x 1My2 + ly 1Mx
2 )
X +y
lxy l
1
= M 2
2
(lx l + ly l) ~ -
2
M (lx l + lyl) ,
X +y
car x
2 + y2 ~ 21xyl,
et donc f (x,y)
0 = f (0,0) , ce qui montre que f
(x ,y)-> (0,0)
est continue sur JR2.
3) On a, pour tout (x ,y) de JR 2 - { (0,0) ) :
af
1
(
,
2
2
ax (x ,y) = (x2 + y2)2 (rp(y) - y - 2x(xrp(y) - yrp(x)) ).
E n particulier :
af
• - (x ,0) = 0-----* 0
ax
x -> O
• af co ) = rp(y) - yrp' (0)
a
,y
2
X
y
1
1
= - rp" (0) + 0 (1) -----* - rp" (0) # o.
2
y ->0
y-> 0 2
Ceci mo ntre que af n'est pas continue en (0 ,0) et donc f n'est
ax
pas de classe c 1 sur JR2.
a) D'après les théorèmes généraux, F est de classe C 1 sur l'ouvert JR* x lR.
l ) Existence des dpp
Soit YO E JR.
• On a : V' h E JR*,
F(h ,yo)- F (O, yo) = ~(~ [ hYo f - (yo - l )f(O))
h
h h 11i
1 { hyo
= h2 } ,,
(f - f (0)) .
Puis que f est déri vable en 0, il existe une ap plicati on
& : lR ~ lR te lle que :
1
V' h E JR, f(h) = f(O) + hf'(O) + h&(h)
é(h) -----* o.
h --+0
1 1 hyo
Alors: 2
(f - f (0))
h
h
1 (
)
1 f hYo
= 2 YÔ - l f'(O) + h 2 J1i té(t) dt
-----* ~ (YÔ - 1) f' (0) .
ir ->0 2
Ceci montre que~~ (O ,yo) ex iste et vaut ~ (YÔ - l) !' (0).
aF
•D'autre part : F (0, • ) : IR ~ IR
, donc - (0, Yo) existe
y>--+ (y - 1).f(O)
ay
et vaut f (0).
2) Continuité des dpp
• D'après Analyse MPSI, 6.4.1 Cor. 2 (intégrale fonction de la
borne d'en haut), on a, pour tout (x ,y) de JR* x lR :
aF
1 f xy
l
- (x ,y) = - -
f + - (yf(xy) - f(x)).
ax
x 2
X
X
E n utilisant l'application & définie en l ), on obtient, pour tout
(x ,y) de JR* x lR :
aF
1 2
,
2
-(x ,y ) =-(y - 1) f (0) +y &(xy )
ax
2
1 f xy
- s(x) - 2
t&(t)dt ,
X
X
et donc :
aF
i (
)
aF
-a (x ,y)
-
2
YÔ- l f'(O) = -a (O, y 0 ),
x
(x ,y) -> (0 ,yo)
x
a F
ce qui montre que - est continue en (0,yo) , pour tout YO de JR .
ax
aF
Fin alement, - est continue sur JR 2
ax
• On a (cf. Analyse MPSI, 6.4.1 , et ci-dessus):
aF
{ f(xy)
ay (x ,y)=
f(O)
Comme f est continue en 0, on obtient :
Si X f. 0
si X= 0.
a F
aF
- (x ,y)
f(O) = - (0,yo)
ay
(x,y)--+ (0.yo)
ay
aF
pour tout YO de lR . Finalement, - est continue sur JR 2
ay
b) Soit f convenant. On a a lors :
a F
~(x , y) = 0,
c'est-à-dire, d'après a) :
1
xy 1
1
V'(x ,y) E JR* X JR,
-,:l f+~ (yf(xy)-f(x))~o
V' y E JR, - (y 2 - l )f' (O) = 0 .
2
E n remplaçant y par 0, on déduit :
1
V'x E JR*, L' f -xf(x) = 0
.f'(O) = 0
Puisque (V' x E JR*, f (x) = ~ fox f) et que f est conti nue
sur JR , il en résulte (cf. Analyse MPSI, 6.4.l) que f est de
classe C 1 sur JR*.
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lf(x,y) I
= x2 ~ y2 lx ( rp(y) - yrp'(O))-y ( rp(x) - xrp' (O)) I
~ 2
1
2 ( 1 x 1My2 + ly 1Mx
2 )
X +y
lxy l
1
= M 2
2
(lx l + ly l) ~ -
2
M (lx l + lyl) ,
X +y
car x
2 + y2 ~ 21xyl,
et donc f (x,y)
0 = f (0,0) , ce qui montre que f
(x ,y)-> (0,0)
est continue sur JR2.
3) On a, pour tout (x ,y) de JR 2 - { (0,0) ) :
af
1
(
,
2
2
ax (x ,y) = (x2 + y2)2 (rp(y) - y - 2x(xrp(y) - yrp(x)) ).
E n particulier :
af
• - (x ,0) = 0-----* 0
ax
x -> O
• af co ) = rp(y) - yrp' (0)
a
,y
2
X
y
1
1
= - rp" (0) + 0 (1) -----* - rp" (0) # o.
2
y ->0
y-> 0 2
Ceci mo ntre que af n'est pas continue en (0 ,0) et donc f n'est
ax
pas de classe c 1 sur JR2.
a) D'après les théorèmes généraux, F est de classe C 1 sur l'ouvert JR* x lR.
l ) Existence des dpp
Soit YO E JR.
• On a : V' h E JR*,
F(h ,yo)- F (O, yo) = ~(~ [ hYo f - (yo - l )f(O))
h
h h 11i
1 { hyo
= h2 } ,,
(f - f (0)) .
Puis que f est déri vable en 0, il existe une ap plicati on
& : lR ~ lR te lle que :
1
V' h E JR, f(h) = f(O) + hf'(O) + h&(h)
é(h) -----* o.
h --+0
1 1 hyo
Alors: 2
(f - f (0))
h
h
1 (
)
1 f hYo
= 2 YÔ - l f'(O) + h 2 J1i té(t) dt
-----* ~ (YÔ - 1) f' (0) .
ir ->0 2
Ceci montre que~~ (O ,yo) ex iste et vaut ~ (YÔ - l) !' (0).
aF
•D'autre part : F (0, • ) : IR ~ IR
, donc - (0, Yo) existe
y>--+ (y - 1).f(O)
ay
et vaut f (0).
2) Continuité des dpp
• D'après Analyse MPSI, 6.4.1 Cor. 2 (intégrale fonction de la
borne d'en haut), on a, pour tout (x ,y) de JR* x lR :
aF
1 f xy
l
- (x ,y) = - -
f + - (yf(xy) - f(x)).
ax
x 2
X
X
E n utilisant l'application & définie en l ), on obtient, pour tout
(x ,y) de JR* x lR :
aF
1 2
,
2
-(x ,y ) =-(y - 1) f (0) +y &(xy )
ax
2
1 f xy
- s(x) - 2
t&(t)dt ,
X
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et donc :
aF
i (
)
aF
-a (x ,y)
-
2
YÔ- l f'(O) = -a (O, y 0 ),
x
(x ,y) -> (0 ,yo)
x
a F
ce qui montre que - est continue en (0,yo) , pour tout YO de JR .
ax
aF
Fin alement, - est continue sur JR 2
ax
• On a (cf. Analyse MPSI, 6.4.1 , et ci-dessus):
aF
{ f(xy)
ay (x ,y)=
f(O)
Comme f est continue en 0, on obtient :
Si X f. 0
si X= 0.
a F
aF
- (x ,y)
f(O) = - (0,yo)
ay
(x,y)--+ (0.yo)
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pour tout YO de lR . Finalement, - est continue sur JR 2
ay
b) Soit f convenant. On a a lors :
a F
~(x , y) = 0,
c'est-à-dire, d'après a) :
1
xy 1
1
V'(x ,y) E JR* X JR,
-,:l f+~ (yf(xy)-f(x))~o
V' y E JR, - (y 2 - l )f' (O) = 0 .
2
E n remplaçant y par 0, on déduit :
1
V'x E JR*, L' f -xf(x) = 0
.f'(O) = 0
Puisque (V' x E JR*, f (x) = ~ fox f) et que f est conti nue
sur JR , il en résulte (cf. Analyse MPSI, 6.4.l) que f est de
classe C 1 sur JR*.
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