"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
3) Continuité des dpp
On a, pour (x,y) EV :
af
ay (x,y) =
2y sin 2 x cos 2 x
2 '
( cos 2 x + y 2 sin 2 x )
d'où, pour (n ,t) E Z x (]-%; % [ - {Ol):
af (]f
)
2t cos
2 t sin
2 t
-
- +nn +t,t =""' - - .
ay 2
( 2
2
2 ) 2 ,___.o 21
sin t + t cos t
af
(n
)
Ceci montre que ay n'est pas continue en l + nn,O .
Réponse :
• L'e nsemble de continuité de f est
u = JR2 -((~ +nz) x {OJ) .
•Def G~ ) = V , Def( :~ ) = 1R
2
.
• Les dpp de f sont continues sur V et non continues en tout
autre point.
d) D'après les théorèmes géné raux, f est de classe C 1 sur l'ouvert V = {(x,y) E JR 2 ; lx l i- ly l} .
1) Continuité
Comme V (x ,y) E JR 2 ,
f (x ,y) = ~ ( lx l + ly l + llxl - ly ll),
f est continue sur IR
2 .
2) Existence des dpp
z
X
z
0
Représentation graphique de f (., y 0
)
Soit YO ER L'application f ( • ,yo) : lR ----+ lR
x..._.... Max( lx l,I YoD
pas dérivable en - IYo l ni en IYo l, donc :~ C- IYo l ,yo)
af CIYo l.yo) n'exi stent pas.
ax
af
De même pour ay .
Réponse:
• f est continue sur JR 2
X
n'est
et
• Def ( :~ ) = Def G~ ) = {(x ,y) E IR
2 ; lx l i- IYI} noté V
• af et af sont continues sur V.
ax
ay
e) D'après les théorèmes généraux , f est continue sur IR 2 et de
classe C 1 sur l'ouvert
V= {(x ,y) E JR 2 ; x 2 f-y2 ).
1) Existence des dpp
Soit (xo ,Yo) E IR
2 tel que xô = YÔ·
Si YO i- 0, l 'application f ( • ,yo) : IR ----+ IR
n'est pas
x..._...,Max(x 2 , y6)
dérivable en yo (ni en - yo) puisque (pour YO > 0 par exemple):
(f ( . , yo))~ (Yo) = 0 et (f ( • ,yo))' (Yo) = 2yo i- O.
z
z
-ly 0 I 0 ly 0 I X
0
X
Cas y 0 ;>< 0
Représentation graphique de f (., y 0
)
Et f ( • , 0) : lR ----+ lR est dérivable en 0 et (f (. , 0) )' (0) = 0 .
x ..._...,x 2
Ceci montre: Def ( :~ ) =VU {(0,0) } .
af
De même pour a y .
2) Continuité des dpp
L'application af : V U { (0,0) } ----+ IR est définie par :
ax
1
0
si x 2 < y 2
af (x ,y) =
2x si x 2 > y 2
ax
0
Si X = y = 0
af
af
Il est clair que : - a (x ,y)
0 = - a (0,0) .
af
De même pour a y .
Réponse:
X
(x,y)-> (0 ,0 )
X
• f est continue sur JR 2 .
• Def G~ ) =Def G~ ) ={(x ,y ) E JR
2
; lx lf- ly l} U{(0,0)}.
• af et af sont continues sur leur ensemble de définition .
ax
ay
1) f est de classe C 2 sur l'ouvert IR 2 - { (0, 0)} d'après les théorèmes généraux.
2) Continuité
Puisque Vt E [ -1 ; 1], l
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
3) Continuité des dpp
On a, pour (x,y) EV :
af
ay (x,y) =
2y sin 2 x cos 2 x
2 '
( cos 2 x + y 2 sin 2 x )
d'où, pour (n ,t) E Z x (]-%; % [ - {Ol):
af (]f
)
2t cos
2 t sin
2 t
-
- +nn +t,t =""' - - .
ay 2
( 2
2
2 ) 2 ,___.o 21
sin t + t cos t
af
(n
)
Ceci montre que ay n'est pas continue en l + nn,O .
Réponse :
• L'e nsemble de continuité de f est
u = JR2 -((~ +nz) x {OJ) .
•Def G~ ) = V , Def( :~ ) = 1R
2
.
• Les dpp de f sont continues sur V et non continues en tout
autre point.
d) D'après les théorèmes géné raux, f est de classe C 1 sur l'ouvert V = {(x,y) E JR 2 ; lx l i- ly l} .
1) Continuité
Comme V (x ,y) E JR 2 ,
f (x ,y) = ~ ( lx l + ly l + llxl - ly ll),
f est continue sur IR
2 .
2) Existence des dpp
z
X
z
0
Représentation graphique de f (., y 0
)
Soit YO ER L'application f ( • ,yo) : lR ----+ lR
x..._.... Max( lx l,I YoD
pas dérivable en - IYo l ni en IYo l, donc :~ C- IYo l ,yo)
af CIYo l.yo) n'exi stent pas.
ax
af
De même pour ay .
Réponse:
• f est continue sur JR 2
X
n'est
et
• Def ( :~ ) = Def G~ ) = {(x ,y) E IR
2 ; lx l i- IYI} noté V
• af et af sont continues sur V.
ax
ay
e) D'après les théorèmes généraux , f est continue sur IR 2 et de
classe C 1 sur l'ouvert
V= {(x ,y) E JR 2 ; x 2 f-y2 ).
1) Existence des dpp
Soit (xo ,Yo) E IR
2 tel que xô = YÔ·
Si YO i- 0, l 'application f ( • ,yo) : IR ----+ IR
n'est pas
x..._...,Max(x 2 , y6)
dérivable en yo (ni en - yo) puisque (pour YO > 0 par exemple):
(f ( . , yo))~ (Yo) = 0 et (f ( • ,yo))' (Yo) = 2yo i- O.
z
z
-ly 0 I 0 ly 0 I X
0
X
Cas y 0 ;>< 0
Représentation graphique de f (., y 0
)
Et f ( • , 0) : lR ----+ lR est dérivable en 0 et (f (. , 0) )' (0) = 0 .
x ..._...,x 2
Ceci montre: Def ( :~ ) =VU {(0,0) } .
af
De même pour a y .
2) Continuité des dpp
L'application af : V U { (0,0) } ----+ IR est définie par :
ax
1
0
si x 2 < y 2
af (x ,y) =
2x si x 2 > y 2
ax
0
Si X = y = 0
af
af
Il est clair que : - a (x ,y)
0 = - a (0,0) .
af
De même pour a y .
Réponse:
X
(x,y)-> (0 ,0 )
X
• f est continue sur JR 2 .
• Def G~ ) =Def G~ ) ={(x ,y ) E JR
2
; lx lf- ly l} U{(0,0)}.
• af et af sont continues sur leur ensemble de définition .
ax
ay
1) f est de classe C 2 sur l'ouvert IR 2 - { (0, 0)} d'après les théorèmes généraux.
2) Continuité
Puisque Vt E [ -1 ; 1], l