"'O
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Comme 0 :::;; kk' < 1, on déduit y - b + f(x) = 0 ,
et de même x - a + g (y) = 0.
Finalement, (a,b) = (x + g(y),y + f(x)) = F(x,y).
a) D'après les théorèmes généraux, f est de classe C 1 sur
IR 2 -{ (0,0) }.
1) Continuité
Pour (x ,y) E IR 2 - {(0,0)}:
1
1
lx l
3 + 1y l
3
f(x,y)- f(O,O) :::;;
2
2
:::;; lx l+ ly l
0 ,
X + y
(x,y)-'>(0,0)
donc f est continue en (0,0) .
2) Existence des dpp
f(x ,O) - f(O,O)
sin(x 3 )
af
.
- - - - - - = - -
3
-
~ l , donc - (0,0) existeet
X
X
x -'>0
ax
vaut 1.
De même, :· ~ (0,0) existe et vaut - 1.
3) Continuité des dpp
Pour (x ,y) E IR 2 - {(0,0)} :
af
1
- (x,y)= - - -
ax
(x2 + y2)2
( 3x 2 cos (x 3 )(x 2 + y 2 ) - 2x(sin (x 3 ) - sin (y 3 ))) ,
d'où
af (x,x) = ~ cos(x 3 ) ~ ~ # af (0 ,0), et donc
ax
2
X-'>0 2
ax
af
.
~
af
.
- n'est pas contmue en (0,0). De meme, - n'est pas cont1 -
ax
ay
nue en (0, 0).
Réponse:
• f est continue sur IR 2 .
• f admet des dpp sur IR 2 .
• Les deux dpp de f sont continues sur IR 2 - { (0 , 0)} et no n
continues en (0,0) .
b) D'après les théorèmes généraux , f est de classe C 1 sur l'ouvert IR* x IR .
1) Continuité
Soit YO E R On a, pour (x ,y) E IR 2 :
lf(x ,y) - f(O,yo) I = lf(x ,y) I:::;; lx l,
et lx 1
0 , donc f est continue en (0 ,yo).
(x ,y)-'> (0 ,yo)
2) Existence des dpp
Soit YO E R
• Considérons f ( • ,yo) : IR --+ IR . Yo
n-->{ ~ Stn ~
Si X#- 0
Si X= 0
Si YO # 0 , f( • ,yo) n 'est pas dérivable en 0 , p ui sque
h
f (h ,yo) - f (0,yo)
. Yo ,
d r .t
d
r----+
h
= sm h na pas e im1 e quan
h tend vers O.
Si YO = 0 , alors f ( · ,yo) = 0 , donc af (0,0) existe et vaut O.
ax
• af (0, Yo) existe et vaut 0 , puisque f (0, • ) = O.
ay
3) Continuité des dpp
af
. y
i
y
•Pour (x,y) E IR* x IR, -(x ,y) = sm - - - cos - ; en
ax
X
X
X
particulier, pour X E IR*, af (x ,X) = sin l - ~ cos 1 qui n'a
ax
X
pas de limite quand x tend vers O.
af
.
Donc - n'est pas contmue en (0,0).
ax
•On a:
V(x ,y) E IR 2 ,
y
af
1 cos -
-(x, y ) =
X
ay
o
s i X# 0
si X= 0
Il est clair que af n'a pas de limite en tout (0 ,yo) , YO E IR*.
ay
Et :~ (t 2 ,t) = cos ~ n'a pas de limite quand t tend vers O.
Réponse:
• f est continue sur IR 2 .
• Les dpp de f sont continues sur IR* x IR et no n continues en
tout autre po int.
c) D'après le s théorèmes générau x, f est de classe C 1 sur l'o uvert V = IR 2 - ( ( ~ + rrZ) x {0}).
1) Continuité
Soit n E Z . On a :
j(x ,O) = l
l # f (::_ + nn,o) ,
x -'> rr.+mr
2
2
donc f n'est pas continue en ( ~ + nn ,0) .
2) Existence des dpp
• f (. ,0) : IR ----+ IR
do nc, po ur tout n de Z ,
{
1 si xli-2- +nZ
X ~
0 si x E ~ +n Z
rr
f (. ,0) n'est pas dérivable en 2
+ nn.
•Pour tout n de Z ,f (~ + nn , •) :
af (rr
)
donc -
- + nn,O existe et vaut O.
ay 2
IR ----+ IR,
y ~o
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