"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
1
• Réciproqueme nt, si F est continue sur IR 2 , alors f et g sont
continues sur IR, par composition :
{
'V x E IR,
'V y E IR,
f(x) = F(x,0) - g(O)
g(y) = F(O,y) - f(O).
1) O n remarque: f (0,0) =O.
On a, pour tout (x,y) E IR 2 :
l
x+y=O
f(x,y) = 0 {:::::::}
2x+ y3 = 0
{
y = -X
1 X = ../2
-x
3 + 2x = 0 {::= y= -../2.
Ainsi: f (../2, -../2) = f (0, 0) , donc f n'est pas injective.
2) So it (X,Y) E IR 2 fixé. O n a, pour tout (x ,y) E IR 2 :
f(x,y) = (X,Y) {:::::::}
l
x+y=X
2x+y3 = Y
l
x= - y+X
y3 - 2y + 2X - Y = O.
L'app licatio n P : IR -----+ IR,
y t----+ P(y) = y
3 - 2y + 2X - Y est continue sur l'intervalle IR , de limite -oo en -oo et de limite +oo en +oo.
D'après le théorème d es valeurs intermédiaires, il existe
donc y E IR tel que P (y) =O.
E n notant x =-y+ X, on a alors f(x,y) = (X,Y) , ce qui
mo ntre que f est surjective.
Répons e : f n'est pas inj ective, f est surjective.
Pour to ut x de [O ;1], f(x,.) est continue sur le compact
[0 ; l ], donc est minorée, d'où l'existence de g (x). Raisonnement
analogue pour h .
a) Soit s > O. P ui sque f est continue sur le compact [0; 1) 2 ,
d'après le théorème de Heine, f est uniformément continue
sur [0; lf. Il existe donc 17 > 0 tel que:
'V x,y,x',y' E [O; 1),
({
lx - x' I ::;:; 11
I
f , ')I )
1 y - y' 1 ::;:; 11 ===} f (x ' y) - (x , y ::;:; s .
Soit (x ,x') E [O; l ] 2 te l que lx - x' 1 ::;:; 17 . On a alors :
'V y E [0; 1), f(x ,y) - s ::;:; f(x
1 ,y) ::;:; f(x,y) + s,
d'où : g(x) - s ::;:; g(x') ::;:; g(x) + s,
c'est-à-dire lg(x) - g(x') I ::;:; s.
Ceci montre que g est uniformément continue sur [O; 1), do nc
continue sur [O; l]. De m ême po ur h.
b) L'existence de a et fJ est assurée par la continuité de g et
h sur le compact [O; 1) .
De plus, a et fJ sont atteints respectivement par g eth.
a) ( vy E [O; l] ,
===} ( 'V y E [0; 1),
( vxE [O; l] , g(x) ::o:; f(x,y) ) )
a ::;:; S up f(x,y) = h(y) )
x e [O: l ]
===} (a : : ; : ; Inf h (y) = fJ ) .
ye [O: l]
fJ) 1) Supposons a = fJ. Il existe (xo ,Yo) E [O; 1) 2 tel que
g(xo) =a et h(yo) = fJ, et alo rs:
'V(x,y) E [O; 1]
2
,
f(x,yo) ::;:; h (yo) = g(xo) ::;:; f(xo ,y).
2) Réciproquement, s'il existe (xo ,Yo) E [O; 1] 2 tel que:
'V (x ,y) E [O; 1) 2 , f (x,yo) ::;:; f (xo ,y),
alors : 'V y E [O; 1),
fJ = h(yo) = S up f(x,yo) ::;:; f(xo,y) ,
x e [O: l ]
d'où fJ ::;:; Inf f(xo,y) =a , et finaleme nt a= fJ.
ye [O: l ]
1) Injectivité
Soient x ,y ,u ,v E IR te ls que F(x,y) = F(u ,v).
{
X+ g(y) = U + g(v) '
O n a alors :
y+ f (x) = v + f (u)
{
lx - u l = lg(v) - g(y) ::;:; k' lv - YI
d'où
lv - YI = lf(x) - f(u) I ::;:; klx - ul
etdo nc lx - ul ::;:; kk' lx - u l. CommeO ::;:; kk' < 1,ondéduit
x = u , puis y= v.
2) Surjectivité
Soit (a,b) E IR 2 . Cons idéro ns
rp : IR -----+ IR
et ' l/J : IR -----+ IR
.
xt- H+g(b - f(x))
y~ y+ f(a - g( y))
• donc continues.
• Soit x E IR. On a :
lg(b - f(x)) I ~ k'lb - f(x) I + lg(O)I
::;:; k'b + k' (klx l + l.f(O)I) + lg(O)I.
Comme 0 ::;:; kk' < 1, on déduit
x + g(b - f (x)) ~ x, e t d o n c
x -->-oo
Le théorème des va leurs intermédiaires permet de conclure
que • Il existe ainsi (x, y) E IR 2 te l que : a = cp(x) et b = if! (y).
O n a:
ly-b+ f(x)I = l f(x)- f(a - g(y)) I::;:; k lx-a+g(y)I
= klg(y) - g(b - f(x)) I::;:; kk' ly - b + f(x) I.
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
1
• Réciproqueme nt, si F est continue sur IR 2 , alors f et g sont
continues sur IR, par composition :
{
'V x E IR,
'V y E IR,
f(x) = F(x,0) - g(O)
g(y) = F(O,y) - f(O).
1) O n remarque: f (0,0) =O.
On a, pour tout (x,y) E IR 2 :
l
x+y=O
f(x,y) = 0 {:::::::}
2x+ y3 = 0
{
y = -X
1 X = ../2
-x
3 + 2x = 0 {::= y= -../2.
Ainsi: f (../2, -../2) = f (0, 0) , donc f n'est pas injective.
2) So it (X,Y) E IR 2 fixé. O n a, pour tout (x ,y) E IR 2 :
f(x,y) = (X,Y) {:::::::}
l
x+y=X
2x+y3 = Y
l
x= - y+X
y3 - 2y + 2X - Y = O.
L'app licatio n P : IR -----+ IR,
y t----+ P(y) = y
3 - 2y + 2X - Y est continue sur l'intervalle IR , de limite -oo en -oo et de limite +oo en +oo.
D'après le théorème d es valeurs intermédiaires, il existe
donc y E IR tel que P (y) =O.
E n notant x =-y+ X, on a alors f(x,y) = (X,Y) , ce qui
mo ntre que f est surjective.
Répons e : f n'est pas inj ective, f est surjective.
Pour to ut x de [O ;1], f(x,.) est continue sur le compact
[0 ; l ], donc est minorée, d'où l'existence de g (x). Raisonnement
analogue pour h .
a) Soit s > O. P ui sque f est continue sur le compact [0; 1) 2 ,
d'après le théorème de Heine, f est uniformément continue
sur [0; lf. Il existe donc 17 > 0 tel que:
'V x,y,x',y' E [O; 1),
({
lx - x' I ::;:; 11
I
f , ')I )
1 y - y' 1 ::;:; 11 ===} f (x ' y) - (x , y ::;:; s .
Soit (x ,x') E [O; l ] 2 te l que lx - x' 1 ::;:; 17 . On a alors :
'V y E [0; 1), f(x ,y) - s ::;:; f(x
1 ,y) ::;:; f(x,y) + s,
d'où : g(x) - s ::;:; g(x') ::;:; g(x) + s,
c'est-à-dire lg(x) - g(x') I ::;:; s.
Ceci montre que g est uniformément continue sur [O; 1), do nc
continue sur [O; l]. De m ême po ur h.
b) L'existence de a et fJ est assurée par la continuité de g et
h sur le compact [O; 1) .
De plus, a et fJ sont atteints respectivement par g eth.
a) ( vy E [O; l] ,
===} ( 'V y E [0; 1),
( vxE [O; l] , g(x) ::o:; f(x,y) ) )
a ::;:; S up f(x,y) = h(y) )
x e [O: l ]
===} (a : : ; : ; Inf h (y) = fJ ) .
ye [O: l]
fJ) 1) Supposons a = fJ. Il existe (xo ,Yo) E [O; 1) 2 tel que
g(xo) =a et h(yo) = fJ, et alo rs:
'V(x,y) E [O; 1]
2
,
f(x,yo) ::;:; h (yo) = g(xo) ::;:; f(xo ,y).
2) Réciproquement, s'il existe (xo ,Yo) E [O; 1] 2 tel que:
'V (x ,y) E [O; 1) 2 , f (x,yo) ::;:; f (xo ,y),
alors : 'V y E [O; 1),
fJ = h(yo) = S up f(x,yo) ::;:; f(xo,y) ,
x e [O: l ]
d'où fJ ::;:; Inf f(xo,y) =a , et finaleme nt a= fJ.
ye [O: l ]
1) Injectivité
Soient x ,y ,u ,v E IR te ls que F(x,y) = F(u ,v).
{
X+ g(y) = U + g(v) '
O n a alors :
y+ f (x) = v + f (u)
{
lx - u l = lg(v) - g(y) ::;:; k' lv - YI
d'où
lv - YI = lf(x) - f(u) I ::;:; klx - ul
etdo nc lx - ul ::;:; kk' lx - u l. CommeO ::;:; kk' < 1,ondéduit
x = u , puis y= v.
2) Surjectivité
Soit (a,b) E IR 2 . Cons idéro ns
rp : IR -----+ IR
et ' l/J : IR -----+ IR
.
xt- H+g(b - f(x))
y~ y+ f(a - g( y))
• donc continues.
• Soit x E IR. On a :
lg(b - f(x)) I ~ k'lb - f(x) I + lg(O)I
::;:; k'b + k' (klx l + l.f(O)I) + lg(O)I.
Comme 0 ::;:; kk' < 1, on déduit
x + g(b - f (x)) ~ x, e t d o n c
x -->-oo
Le théorème des va leurs intermédiaires permet de conclure
que • Il existe ainsi (x, y) E IR 2 te l que : a = cp(x) et b = if! (y).
O n a:
ly-b+ f(x)I = l f(x)- f(a - g(y)) I::;:; k lx-a+g(y)I
= klg(y) - g(b - f(x)) I::;:; kk' ly - b + f(x) I.