"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Il existe donc k E IR tel que :
Mais alors Y2(u 1) = 0, contradiction.
b)Appliquera)àp1 =m, P2 = p, Yl: t t----+ sin(tfm).
c) Raisonnons par l'absurde : supposons que y admette deux
zéros consécutifs u2, v2 tels que v2 - u2 > n. Il existe alors
a E IR tel que u2 < a < a + n < v2. L'application Y I :
IR ------+ IR
est so. lution de y"+ y= 0 sur IR, s'annule en
xt---+ sin (x-a)
a et a+ n , et y #-O.
Comme (\lx E IR, elxJ ~ 1), d'après a), Y2 admet au moins un
zéro dans [u2; v2], contradiction.
1 1
l
a) f (0,y) = - -----+ ±OO.
y y-->O±
Réponse : f n'a pas de limite en (0,0).
b)f(x,0) = 0-----+ 0 et f (x,A) = ~-----+ ~.
x-->0
2 x -->O+ 2
Réponse : f n'a pas de limite en (0,0).
1
c) En notant X = lx l 3 , Y= y 4 , puis p = (X 2 + Y 2 ) 2, on a:
4 3
X'ï Y4
4
3 2
1
lf (x,y) I = x 2 + Y 2 ~ p'ï+4- = pî'i.
o.
(x,y)-->(0,0)
Réponse: f -----+ O.
(0,0)
d) f(x,O) = -x 2 -----+ 0
x-->O
et
2
(-x+x2)2-x
f(x, - x + x ) =
-----+ - 1.
X
x--> 0
Réponse: f n'a pas de limite en (0,0).
(2
e) Puisque 1 - cos t ~ -, il existe a > 0 tel que:
t --> O 2
\ltE]-a;a[, O ~ l-cos t ~ t
2
.
On a alors, pour tout (x,y) de IR x IR* tel que lx l < a et
IY I < a:
lf(x ,y) I ~lx!.
Enfin :
lx 1
O .
(x,y)-->(0,0)
Réponse: f -----+ O.
(0,0)
j) En notant v = Max(lx 1, ly l) , on a, pour tout (x ,y) de (IR*) 2 :
Jx 2 + y 2 ~ v et lx lv1Vf + IYl.J!Xî ~ 2v~,
l
d'où: f(x ,y) ~ - 1
2v 2
Réponse : f -----+ + oo.
(0 ,0)
a) • f est continue sur (IR*) 2 d'après les théorèmes généraux.
1
•Soit xo E IR*. L'application (x ,y) 1----+ x sin - n'a pas de liy
l
mite en (xo,0), et y sin -
0, donc f n'a pas de
X (x ,y)--> (xo,0)
limite en (xo ,O). De même pour (O,yo),Yo E IR*.
1
• x sin -
0
. l
et y sm0, donc
Y (x,y)-->(0,0)
X (x,y)-->(0,0)
f(x ,y)
O.
(x,y)-->(0,0)
Réponse: (IR*) 2 U {(0,0)}.
b)•festcontinuesurl'ouvert{(x,y) E IR 2 ; lx l i- IYI} d'après
les théorèmes généraux.
•Soit (xo.Yo) E IR
2 tel que lxol = IYo l·
On a: f(x ,y)
x5 = f(xo,Yo)
(x ,y)--> (xo .Yo)
lxl«l.rl
et f (x ,y)
Y5 = x5,
(x,y)-->(xo.Yo)
lxl>lyl
donc f est continue en (xo.Yo).
Réponse : IR 2 .
c) • f est continue sur l'ouvert { (x ,y) E IR
2 ; IY 1 #- x
2 } d'après
les théorèmes généraux.
•Soit (xo,yo) E IR 2 tel que IYol = x5.
(x4 -y2)2
Si xo #- 0, on a :
_ _ _ _ , O.
x6
(x,y)-->(xo.Yo)
Supposons xo =O. (donc YO = 0). Soit (x ,y) E IR 2 tel que
x#-Oet lyl
On a: If (x,y ) I = (x 2 - y)
6
X
(x2 _ y) (x2 + y) 2 (x2 + ly l)3
et 0 ~
x6
~
x6
~ 8
car IYI < x
2 ,
d'où lf(x,y)I ~ 8(x 2 - y)
O.
Réponse : IR 2 .
f(t,0 ,0,0) = t-----+ 0
t-->0
(x ,y) --> (0,0)
l.l'l
t-->0
Réponse : non.
•Si f et g sont continues sur IR, alors Fest continue sur IR 2 ,
par composition :
(x,y) t----+ (f(x) ,g(y )) t----+ f(x) + g(y).
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0
c
::J
0
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...._,
..c
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>0.
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u
Il existe donc k E IR tel que :
Mais alors Y2(u 1) = 0, contradiction.
b)Appliquera)àp1 =m, P2 = p, Yl: t t----+ sin(tfm).
c) Raisonnons par l'absurde : supposons que y admette deux
zéros consécutifs u2, v2 tels que v2 - u2 > n. Il existe alors
a E IR tel que u2 < a < a + n < v2. L'application Y I :
IR ------+ IR
est so. lution de y"+ y= 0 sur IR, s'annule en
xt---+ sin (x-a)
a et a+ n , et y #-O.
Comme (\lx E IR, elxJ ~ 1), d'après a), Y2 admet au moins un
zéro dans [u2; v2], contradiction.
1 1
l
a) f (0,y) = - -----+ ±OO.
y y-->O±
Réponse : f n'a pas de limite en (0,0).
b)f(x,0) = 0-----+ 0 et f (x,A) = ~-----+ ~.
x-->0
2 x -->O+ 2
Réponse : f n'a pas de limite en (0,0).
1
c) En notant X = lx l 3 , Y= y 4 , puis p = (X 2 + Y 2 ) 2, on a:
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X'ï Y4
4
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1
lf (x,y) I = x 2 + Y 2 ~ p'ï+4- = pî'i.
o.
(x,y)-->(0,0)
Réponse: f -----+ O.
(0,0)
d) f(x,O) = -x 2 -----+ 0
x-->O
et
2
(-x+x2)2-x
f(x, - x + x ) =
-----+ - 1.
X
x--> 0
Réponse: f n'a pas de limite en (0,0).
(2
e) Puisque 1 - cos t ~ -, il existe a > 0 tel que:
t --> O 2
\ltE]-a;a[, O ~ l-cos t ~ t
2
.
On a alors, pour tout (x,y) de IR x IR* tel que lx l < a et
IY I < a:
lf(x ,y) I ~lx!.
Enfin :
lx 1
O .
(x,y)-->(0,0)
Réponse: f -----+ O.
(0,0)
j) En notant v = Max(lx 1, ly l) , on a, pour tout (x ,y) de (IR*) 2 :
Jx 2 + y 2 ~ v et lx lv1Vf + IYl.J!Xî ~ 2v~,
l
d'où: f(x ,y) ~ - 1
2v 2
Réponse : f -----+ + oo.
(0 ,0)
a) • f est continue sur (IR*) 2 d'après les théorèmes généraux.
1
•Soit xo E IR*. L'application (x ,y) 1----+ x sin - n'a pas de liy
l
mite en (xo,0), et y sin -
0, donc f n'a pas de
X (x ,y)--> (xo,0)
limite en (xo ,O). De même pour (O,yo),Yo E IR*.
1
• x sin -
0
. l
et y sm0, donc
Y (x,y)-->(0,0)
X (x,y)-->(0,0)
f(x ,y)
O.
(x,y)-->(0,0)
Réponse: (IR*) 2 U {(0,0)}.
b)•festcontinuesurl'ouvert{(x,y) E IR 2 ; lx l i- IYI} d'après
les théorèmes généraux.
•Soit (xo.Yo) E IR
2 tel que lxol = IYo l·
On a: f(x ,y)
x5 = f(xo,Yo)
(x ,y)--> (xo .Yo)
lxl«l.rl
et f (x ,y)
Y5 = x5,
(x,y)-->(xo.Yo)
lxl>lyl
donc f est continue en (xo.Yo).
Réponse : IR 2 .
c) • f est continue sur l'ouvert { (x ,y) E IR
2 ; IY 1 #- x
2 } d'après
les théorèmes généraux.
•Soit (xo,yo) E IR 2 tel que IYol = x5.
(x4 -y2)2
Si xo #- 0, on a :
_ _ _ _ , O.
x6
(x,y)-->(xo.Yo)
Supposons xo =O. (donc YO = 0). Soit (x ,y) E IR 2 tel que
x#-Oet lyl
On a: If (x,y ) I = (x 2 - y)
6
X
(x2 _ y) (x2 + y) 2 (x2 + ly l)3
et 0 ~
x6
~
x6
~ 8
car IYI < x
2 ,
d'où lf(x,y)I ~ 8(x 2 - y)
O.
Réponse : IR 2 .
f(t,0 ,0,0) = t-----+ 0
t-->0
(x ,y) --> (0,0)
l.l'l
t-->0
Réponse : non.
•Si f et g sont continues sur IR, alors Fest continue sur IR 2 ,
par composition :
(x,y) t----+ (f(x) ,g(y )) t----+ f(x) + g(y).
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