"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Raisonnement par l'absurde
Supposons que y"+ py = 0 admette une solution Y-périodique y autre que O. Il existe x1 E lR tel que y(x1) i= O.
Quitte à changer y en -y, on peut supposer y(x1) > O.
Puisque y est de classe C 1 sur lR, il existe
tel que
y(x2) =
Sup
y(x) = Sup y(x),
xE[XJ :x1 +T]
xElR
et on a y'(x2) =O.
Alors y(x2) ~ y(x1) > 0,
donc y"(x2) = -p(x2)y(x2) > 0 , y' est strictement croissante sur un voisinage de x2. Comme y'(x2) = 0 , on en
déduit qu'il existe a E R+ tel que :
ce qui contredit la définition de x2.
y
0
X
• Les applications Y1
lR -----+ lR
et Y2 : lR -----+ lR
xt--+ YI (x+ T)
xt--+ y2(x+T )
sont clairement solutions de y" + p y = 0 sur lR. Il existe
donc (a,b,c,d) E JR
4 tel que : {
Y1 = ay1 +bY2
Y2 = cy 1 + dY2.
• Considérons le wronskien W de (Y1 ,y2) :
W =YI Y2 - YI Y2 ; West dérivable sur lR et:
W
I
Il
Il
0
= YlJi - Y1 Y2 = ·
Il existe donc A E lR tel que :
'v'x E JR, W(x) =A.
Comme (Y1 ,y2) est une base du lR-ev des solutions de
y"+ py = 0 sur JR, on sait (cf. 8.4.1 Prop. p. 150) W i= 0,
donc Ai= O.
On a: 'v'x E lR, Wr 1 ,r 2 (x) = Y1(x)YÎ(x)- Y!(x)Y2(x)
= W(x + T) = W(x) =A.
Mais : Wy 1 , y 2 = (ay 1 + hY2)(cy) + dy2)
-(ay] + byl)(CYJ + dy2)
=(ad - bc)W.
On conclut: ad - be= 1.
Supposons qu'un zéro a de y ne soit pas isolé dans /. Il existe alors une suite (xn ) 11 Ef::! d'éléments de I telle que :
On a:
!
'v'n E N, X 11 -:/= a
Xn -----'*a
1100
'v'n E N, y(x 11 ) = 0
y(xn) - y(a)
- - - - - -----'* y'(a), donc y'(a) =O.
X 11 - a
noo
Ainsi, y est solution sur 1 du problème de Cauchy
{
y" + ay' + by = 0.
y(a) = y'(a) = 0
D'après 8.4. l 1) Théorème p. 478, ce problème de Cauchy
admet une solution et une seule sur 1 ; d'autre part, 0 est solution évidente.
On conclut y = 0, contradiction.
a) D'après l'exercice 8.4.18, les zéros de Yl sont isolés dans J.
Soient u 1, v1 deux zéros consécutifs de YI . Comme YI est
continue sur [u 1; vi], le théorème des valeurs intermédiaires montre que, quitte à remplacer YI par - y1, on peut
supposer:
Raisonnons par l'absurde: supposons que Y2 n'admette
aucun zéro dans [u 1; v J]. Quitte à changer Y2 en - y2, on
peut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, supposer:
'v'x E [u1; V]], Y2(x) > O.
Considérons le wronskien W de (Y1 ,y2) :
w = YI Y2 - YI Y2 ;
ici, Yl ,y2 ne sont pas, a priori, solutions d'une même ED
linéaire normalisée du 2e ordre.
L'application West dérivable sur I et :
'v'x E [u1; v1J. W'(x) =YI (x)y2(x) - y](x)y2(x)
= (P1 (x) - P2(x))Y1 (x)y2(x) ~ 0,
donc W décroît sur [u 1; v1].
D'autre part :
W(u1) = -yl (u1)Y2(u1),
W(v1) = - yl (v1)Y2(v1) .
YI (x) - Yl (u 1)
On a: 'v'x E]u1; vi],
~ 0,
x-u 1
d'où YI (u1) ~ 0; de même: y] (v1) ~ O.
On a donc W(u1) ~ 0, W(v1) ~ 0, et ainsi:
(
Y2 )'
W(x)
Puis: 'v'x E]u 1; vi [, -
(x) = -
2
= 0.
YI
(YI (x))
0
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...._,
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>0.
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Raisonnement par l'absurde
Supposons que y"+ py = 0 admette une solution Y-périodique y autre que O. Il existe x1 E lR tel que y(x1) i= O.
Quitte à changer y en -y, on peut supposer y(x1) > O.
Puisque y est de classe C 1 sur lR, il existe
tel que
y(x2) =
Sup
y(x) = Sup y(x),
xE[XJ :x1 +T]
xElR
et on a y'(x2) =O.
Alors y(x2) ~ y(x1) > 0,
donc y"(x2) = -p(x2)y(x2) > 0 , y' est strictement croissante sur un voisinage de x2. Comme y'(x2) = 0 , on en
déduit qu'il existe a E R+ tel que :
ce qui contredit la définition de x2.
y
0
X
• Les applications Y1
lR -----+ lR
et Y2 : lR -----+ lR
xt--+ YI (x+ T)
xt--+ y2(x+T )
sont clairement solutions de y" + p y = 0 sur lR. Il existe
donc (a,b,c,d) E JR
4 tel que : {
Y1 = ay1 +bY2
Y2 = cy 1 + dY2.
• Considérons le wronskien W de (Y1 ,y2) :
W =YI Y2 - YI Y2 ; West dérivable sur lR et:
W
I
Il
Il
0
= YlJi - Y1 Y2 = ·
Il existe donc A E lR tel que :
'v'x E JR, W(x) =A.
Comme (Y1 ,y2) est une base du lR-ev des solutions de
y"+ py = 0 sur JR, on sait (cf. 8.4.1 Prop. p. 150) W i= 0,
donc Ai= O.
On a: 'v'x E lR, Wr 1 ,r 2 (x) = Y1(x)YÎ(x)- Y!(x)Y2(x)
= W(x + T) = W(x) =A.
Mais : Wy 1 , y 2 = (ay 1 + hY2)(cy) + dy2)
-(ay] + byl)(CYJ + dy2)
=(ad - bc)W.
On conclut: ad - be= 1.
Supposons qu'un zéro a de y ne soit pas isolé dans /. Il existe alors une suite (xn ) 11 Ef::! d'éléments de I telle que :
On a:
!
'v'n E N, X 11 -:/= a
Xn -----'*a
1100
'v'n E N, y(x 11 ) = 0
y(xn) - y(a)
- - - - - -----'* y'(a), donc y'(a) =O.
X 11 - a
noo
Ainsi, y est solution sur 1 du problème de Cauchy
{
y" + ay' + by = 0.
y(a) = y'(a) = 0
D'après 8.4. l 1) Théorème p. 478, ce problème de Cauchy
admet une solution et une seule sur 1 ; d'autre part, 0 est solution évidente.
On conclut y = 0, contradiction.
a) D'après l'exercice 8.4.18, les zéros de Yl sont isolés dans J.
Soient u 1, v1 deux zéros consécutifs de YI . Comme YI est
continue sur [u 1; vi], le théorème des valeurs intermédiaires montre que, quitte à remplacer YI par - y1, on peut
supposer:
Raisonnons par l'absurde: supposons que Y2 n'admette
aucun zéro dans [u 1; v J]. Quitte à changer Y2 en - y2, on
peut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, supposer:
'v'x E [u1; V]], Y2(x) > O.
Considérons le wronskien W de (Y1 ,y2) :
w = YI Y2 - YI Y2 ;
ici, Yl ,y2 ne sont pas, a priori, solutions d'une même ED
linéaire normalisée du 2e ordre.
L'application West dérivable sur I et :
'v'x E [u1; v1J. W'(x) =YI (x)y2(x) - y](x)y2(x)
= (P1 (x) - P2(x))Y1 (x)y2(x) ~ 0,
donc W décroît sur [u 1; v1].
D'autre part :
W(u1) = -yl (u1)Y2(u1),
W(v1) = - yl (v1)Y2(v1) .
YI (x) - Yl (u 1)
On a: 'v'x E]u1; vi],
~ 0,
x-u 1
d'où YI (u1) ~ 0; de même: y] (v1) ~ O.
On a donc W(u1) ~ 0, W(v1) ~ 0, et ainsi:
(
Y2 )'
W(x)
Puis: 'v'x E]u 1; vi [, -
(x) = -
2
= 0.
YI
(YI (x))