"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
De plus:
n+ I
n
UYJ + vy2 = L ÎCJ.iYiY:Î +l-i + l..:
i=O
n+ I
= (n + 1) L CJ.iY\Y:Î+ l - i =O.
i=Ü
Comme (Y I ,Y2) est une fami lle libre de deux solutions
de (E), le wronskien 1 YI y
2
I ne s'annule en aucun point
YÎ Y2
del (cf. 8.4.1 3) Prop. 2 p. 479). On en déduit u = v =O.
D'après l'hypothèse de récurrence, comme :
n
n+ I
' "°'( · l ) j n - j ' "°' . i -1 n+ l-i O
L.., J + aJ+ I Y1 Ji = L.., W iY J Ji
=
J=O
i= I
n
L (n + 1 - i)aiY\Y:Î - i = 0
i=O
on conclut : \li E {O, ... ,n + 1}, a; =O.
h) Réponse : non ; contrexemple: n = 2 ,
f 1 : IR -----+ IR, h : IR -----+ IR .
xt--H 3
x~ lx 3 I
c) Réponse: non ; contrexemple: a= h = c = 0 , n = 2,
YI: x t----+ 1, Y2: x t----+ x,
y3: x t----+ x 2 . Comme
Y I Y3 =Yi, la famille
(
p q r)
Y i Y2Y3 (p ,q ,r) EN3. p+ q+ r=2
est liée.
a) • Schématiquement :
; ~~ l ==? y" ci ==? Y c3 ==? Y c3 .
y"= fy
Puis Y= y2, Y' = 2yy', Y"= 2jy2 + 2y' 2 ,
y m = 2f'y 2 + 8fyy' = 2f'Y + 4JY'.
Réponse: a = 0, h = 4f, c = 2f' .
h) Puisque y, z sont solutions de (E), y + z et y - z le sont
aussi, donc (y + z) 2 et (y - z) 2 sont solutions de (F). Alors
yz = ~ ((y + z) 2 - (y - z) 2 ) est solution de (F).
y f
2yi y )
2fy f + 2y] 2
yf
YIY2
Y1Y2+ Y)Y2
2fYJY2 +2y}y2
Y1Y2
/ + /
Y1Y2 Y1Y2
YÎY2
Yi
2Y2Y2
2fyi + 2y22
En développant ce dernier déterminant, on obtient :
Wr, ,Y2 ,Y3 = 2(ytyq - 3yfYÎY2Y2
2 +3Y1Y]2YiY2 - Y;3Y~)
= 2(y1 Y2 - YÎ Y2)
3 = 2 W J, .Y2 .
•Comme (Y1 ,Y2) est une base du JR -ev des solutions de (E),
W y 1 ,y 2 # 0 (cf. 8.4. 1 3) Prop. 2 p. 479). Alors Wr 1 .ri,r 3
= 2 w ; 1
.y
2
# 0, donc (cf. 8.4. l 3) Prop. 2 p. 479), (Y1 , Y2 ,Y3)
est libre. Enfin, les solutions de (F) forment un JR-ev de
dimension 3.
a) Remarquer que Y2 s'obti ent à partir de YI en appliquant la
méthode de Lagrange (cf. 8.4.2 2) p. 481).
h) 1) Existence de w
Pui sque u(O) # 0 et que u est continue en 0 ,
u(x) ~ u(O).
x-->0+
D'après (par exemple) un théorème d'intégration des relations de comparaison (3.3.1 Prop. 2 p. 182), on déduit
r dt
r dt = x
l o (u(t))2 x:o+ l o (u(0))2
(u(0))2,
X
et donc v(x) ~ - -
x ...... o+ u(O)
Puis, d'après un autre théorème d'intégration des relations
de comparaison (3.3.2 Prop. 2 p. 183) :
l x dt lx (u(0))
2
2 ( l l)
- - ~
- - dt= (u(O))
- - -
a (v(1)) 2 x ...... Q+ a
1 2
a
x '
( l l)
donc w(x) ~ xu(O) - - -- -------'? - u(O).
x__.Q+
Ci.
X
x__.Q+
Ainsi, w est prolongeable par continuité en 0 en posant
w(O) = -u(O).
u"
2) En notant a= 0 , h = - - , u est solution de (E)
u
y"+ ay' + hy = 0 sur [0; +oo[. D'après a), v (qui remplace
.Y2) est aussi solution de (E) sur [0; +oo[ . De plus:
\:/t E]O; +oo[, v(t) # 0 , donc, par le même raisonnement
qu'en a) (en remplaçant [O; +oo[ par ]O; +oo[), w est solution de (E) sur ]O; +oo[ .
Comme le IR -ev des solutions de (E) sur ]O; +oo[ est de
dimension 2, que les restrictions de u,v à ]O; +oo[ en forment une base et que w lui appartient, il existe (À,µ) E JR 2 tel
que:
\lx E]O; +oo[, w(x) = Àu(x) + µv(x) .
De plus, comme u , v, w sont continues en 0, on déduit :
\lx E [O; +oo[, w(x) = Àu(x) + µv(x).
3) En particulier w(O) = Àu(O) (car v(O) = 0 ); mais on a vu
w(O) = - u(O), et u(O) #O. D'où À= - 1. Enfin
0 = w(a) = - u(a) + µv(a).
Réponse: À= -1 ,
( ra dt )-1
µ = Jo (u (t))2
1 755
0
c
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De plus:
n+ I
n
UYJ + vy2 = L ÎCJ.iYiY:Î +l-i + l..:
i=O
n+ I
= (n + 1) L CJ.iY\Y:Î+ l - i =O.
i=Ü
Comme (Y I ,Y2) est une fami lle libre de deux solutions
de (E), le wronskien 1 YI y
2
I ne s'annule en aucun point
YÎ Y2
del (cf. 8.4.1 3) Prop. 2 p. 479). On en déduit u = v =O.
D'après l'hypothèse de récurrence, comme :
n
n+ I
' "°'( · l ) j n - j ' "°' . i -1 n+ l-i O
L.., J + aJ+ I Y1 Ji = L.., W iY J Ji
=
J=O
i= I
n
L (n + 1 - i)aiY\Y:Î - i = 0
i=O
on conclut : \li E {O, ... ,n + 1}, a; =O.
h) Réponse : non ; contrexemple: n = 2 ,
f 1 : IR -----+ IR, h : IR -----+ IR .
xt--H 3
x~ lx 3 I
c) Réponse: non ; contrexemple: a= h = c = 0 , n = 2,
YI: x t----+ 1, Y2: x t----+ x,
y3: x t----+ x 2 . Comme
Y I Y3 =Yi, la famille
(
p q r)
Y i Y2Y3 (p ,q ,r) EN3. p+ q+ r=2
est liée.
a) • Schématiquement :
; ~~ l ==? y" ci ==? Y c3 ==? Y c3 .
y"= fy
Puis Y= y2, Y' = 2yy', Y"= 2jy2 + 2y' 2 ,
y m = 2f'y 2 + 8fyy' = 2f'Y + 4JY'.
Réponse: a = 0, h = 4f, c = 2f' .
h) Puisque y, z sont solutions de (E), y + z et y - z le sont
aussi, donc (y + z) 2 et (y - z) 2 sont solutions de (F). Alors
yz = ~ ((y + z) 2 - (y - z) 2 ) est solution de (F).
y f
2yi y )
2fy f + 2y] 2
yf
YIY2
Y1Y2+ Y)Y2
2fYJY2 +2y}y2
Y1Y2
/ + /
Y1Y2 Y1Y2
YÎY2
Yi
2Y2Y2
2fyi + 2y22
En développant ce dernier déterminant, on obtient :
Wr, ,Y2 ,Y3 = 2(ytyq - 3yfYÎY2Y2
2 +3Y1Y]2YiY2 - Y;3Y~)
= 2(y1 Y2 - YÎ Y2)
3 = 2 W J, .Y2 .
•Comme (Y1 ,Y2) est une base du JR -ev des solutions de (E),
W y 1 ,y 2 # 0 (cf. 8.4. 1 3) Prop. 2 p. 479). Alors Wr 1 .ri,r 3
= 2 w ; 1
.y
2
# 0, donc (cf. 8.4. l 3) Prop. 2 p. 479), (Y1 , Y2 ,Y3)
est libre. Enfin, les solutions de (F) forment un JR-ev de
dimension 3.
a) Remarquer que Y2 s'obti ent à partir de YI en appliquant la
méthode de Lagrange (cf. 8.4.2 2) p. 481).
h) 1) Existence de w
Pui sque u(O) # 0 et que u est continue en 0 ,
u(x) ~ u(O).
x-->0+
D'après (par exemple) un théorème d'intégration des relations de comparaison (3.3.1 Prop. 2 p. 182), on déduit
r dt
r dt = x
l o (u(t))2 x:o+ l o (u(0))2
(u(0))2,
X
et donc v(x) ~ - -
x ...... o+ u(O)
Puis, d'après un autre théorème d'intégration des relations
de comparaison (3.3.2 Prop. 2 p. 183) :
l x dt lx (u(0))
2
2 ( l l)
- - ~
- - dt= (u(O))
- - -
a (v(1)) 2 x ...... Q+ a
1 2
a
x '
( l l)
donc w(x) ~ xu(O) - - -- -------'? - u(O).
x__.Q+
Ci.
X
x__.Q+
Ainsi, w est prolongeable par continuité en 0 en posant
w(O) = -u(O).
u"
2) En notant a= 0 , h = - - , u est solution de (E)
u
y"+ ay' + hy = 0 sur [0; +oo[. D'après a), v (qui remplace
.Y2) est aussi solution de (E) sur [0; +oo[ . De plus:
\:/t E]O; +oo[, v(t) # 0 , donc, par le même raisonnement
qu'en a) (en remplaçant [O; +oo[ par ]O; +oo[), w est solution de (E) sur ]O; +oo[ .
Comme le IR -ev des solutions de (E) sur ]O; +oo[ est de
dimension 2, que les restrictions de u,v à ]O; +oo[ en forment une base et que w lui appartient, il existe (À,µ) E JR 2 tel
que:
\lx E]O; +oo[, w(x) = Àu(x) + µv(x) .
De plus, comme u , v, w sont continues en 0, on déduit :
\lx E [O; +oo[, w(x) = Àu(x) + µv(x).
3) En particulier w(O) = Àu(O) (car v(O) = 0 ); mais on a vu
w(O) = - u(O), et u(O) #O. D'où À= - 1. Enfin
0 = w(a) = - u(a) + µv(a).
Réponse: À= -1 ,
( ra dt )-1
µ = Jo (u (t))2
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