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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Notons F : x r---+ fox f,
H : x r---+ fox h, qui sont
de classe C 1 sur IR . O n a, pour tout (x ,y) de IR 2 :
x+y
F (x +y) =la f (t) dt
= fox f (t) dt+ l x+ y f (t) dt
= F (x) + fo y f (u + x) du
= F(x) + fo y g(x) h(u ) du
= F (x) + g(x) H (y).
• Si h = 0 , alors f = 0 et g est quelconque. Supposons
h =f. 0, donc H =f. O. JI existe Yo E IR tel que H (yo) =f. O.
On a : Vx E IR, g(x) = -
1
- (F(x + Yo) - F (x)), ce qui
H (yo)
montre que g est de classe C 1 sur IR .
• O n peut alors échanger g et h dans les hypothèses : on
conclut que f,g, h sont de classe C 1 sur IR .
On a:
V(x,y) E IR 2 , f'(x +y)= g'(x)h(y) = g(x)h '(y),
et en particulier :
Vx E IR, h(yo)g'(x) - h
1 (yo)g(x) = O.
Il existe donc (À ,cx) E IR 2 tel que :
Vx E IR, g(x) =À eax.
De même, il existe (µ ,{3) E IR 2 te l que :
Vy E IR, h(y) = µ. ef3Y.
2) Etudier la réciproque.
Répons e :
S = ((0) X IRJR X (0)) U ((0) X (0) X CO(IR, IR))
{
1
.
U (x r---+ eax ,x r---+ Àeax ,x r---+ À eax );
(À,cx) E IR* x IR }.
a) D'après 8.4.3 2) Exemple 1 p. 483, la solution générale de
(E) sur IR+ est :
y: x r---+ Yo(x) +À cosx + µ. sin x,
(À,µ) E IR 2 , où YO : x r---+ fo x f(t) sin(x - t) dt.
Une intégration par parties donne :
'
Puisque f est monotone, quitte à remplacer (f,y) par
(- f, - y) , on peut supposer!' ? O.
Alors:
Vx E IR+ , lz(x) I::::;; fox f'(t) lcos(x - t)I dt
::::;; fo x J'(t) dt= f(x) - f(O).
Comme f est continue sur [O; +oo[ et admet une limite fi nie
en +oo, on dédui t que f est bornée sur IR+ , puis z ,yo,y sont
bornées sur IR+.
b) On a vu ci-dessus que la solution générale de (E) sur IR+
est :
y : X t----+ f(x) - f(O) cosx -(fox J'(t) COS( dt ) cosx
- (fox J' (t) sin t dt ) sin x
+À cosx + µ. sin x,(À,µ) E IR 2 .
Remarquons que les app li cations t r---+ f' (t) cos t e t
t r---+ f' (t )sin t sont intégrables sur [0; +oo[ .
Les app lications f,
x r---+ À - f( O) - fox f'(t) cost dt,
x r---+ µ. - fox J' (t) sin t dt admettent des limites finies en
+oo. Pour que y admette une limite finie en +oo, il faut et il
suffit que :
1
À - f(O) - fo +oo f
1 (t) cos t dt= 0
r +oo
µ- l o
f ' (t)sin tdt=O
Ceci montre l'existence et l'unicité de YI. De plus, pour tout
x de IR+ :
r +oo
Y I (x) = f(x) + l x
J'(t) cos(x - t) dt
r +oo
= l x
f (t ) sin(x - t) dt.
r +oo
Réponse : YI : x r---+ l x
f (t) si n(x - t) dt.
a) Récurrence sur n.
• La propriété est vraie pour n = l, puisque
• Supposons la propriété vraie pour un n de N* fixé.
Soit (cxo, ... ,an+ 1) E IR"+ 2 tel que :
n+l
~
'
,.
L.., cx;yl YÏ + - t = 0.
i=O
En dérivant, on obtient uy) + vy2_ = 0, où
n+ I
n
u = L ia;y\1
YÏ+ I- ;, v = L:cn + l -i)a;y~y2 -;·
i = l
i=O
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de classe C 1 sur IR . O n a, pour tout (x ,y) de IR 2 :
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F (x +y) =la f (t) dt
= fox f (t) dt+ l x+ y f (t) dt
= F (x) + fo y f (u + x) du
= F(x) + fo y g(x) h(u ) du
= F (x) + g(x) H (y).
• Si h = 0 , alors f = 0 et g est quelconque. Supposons
h =f. 0, donc H =f. O. JI existe Yo E IR tel que H (yo) =f. O.
On a : Vx E IR, g(x) = -
1
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H (yo)
montre que g est de classe C 1 sur IR .
• O n peut alors échanger g et h dans les hypothèses : on
conclut que f,g, h sont de classe C 1 sur IR .
On a:
V(x,y) E IR 2 , f'(x +y)= g'(x)h(y) = g(x)h '(y),
et en particulier :
Vx E IR, h(yo)g'(x) - h
1 (yo)g(x) = O.
Il existe donc (À ,cx) E IR 2 tel que :
Vx E IR, g(x) =À eax.
De même, il existe (µ ,{3) E IR 2 te l que :
Vy E IR, h(y) = µ. ef3Y.
2) Etudier la réciproque.
Répons e :
S = ((0) X IRJR X (0)) U ((0) X (0) X CO(IR, IR))
{
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.
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(À,cx) E IR* x IR }.
a) D'après 8.4.3 2) Exemple 1 p. 483, la solution générale de
(E) sur IR+ est :
y: x r---+ Yo(x) +À cosx + µ. sin x,
(À,µ) E IR 2 , où YO : x r---+ fo x f(t) sin(x - t) dt.
Une intégration par parties donne :
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Puisque f est monotone, quitte à remplacer (f,y) par
(- f, - y) , on peut supposer!' ? O.
Alors:
Vx E IR+ , lz(x) I::::;; fox f'(t) lcos(x - t)I dt
::::;; fo x J'(t) dt= f(x) - f(O).
Comme f est continue sur [O; +oo[ et admet une limite fi nie
en +oo, on dédui t que f est bornée sur IR+ , puis z ,yo,y sont
bornées sur IR+.
b) On a vu ci-dessus que la solution générale de (E) sur IR+
est :
y : X t----+ f(x) - f(O) cosx -(fox J'(t) COS( dt ) cosx
- (fox J' (t) sin t dt ) sin x
+À cosx + µ. sin x,(À,µ) E IR 2 .
Remarquons que les app li cations t r---+ f' (t) cos t e t
t r---+ f' (t )sin t sont intégrables sur [0; +oo[ .
Les app lications f,
x r---+ À - f( O) - fox f'(t) cost dt,
x r---+ µ. - fox J' (t) sin t dt admettent des limites finies en
+oo. Pour que y admette une limite finie en +oo, il faut et il
suffit que :
1
À - f(O) - fo +oo f
1 (t) cos t dt= 0
r +oo
µ- l o
f ' (t)sin tdt=O
Ceci montre l'existence et l'unicité de YI. De plus, pour tout
x de IR+ :
r +oo
Y I (x) = f(x) + l x
J'(t) cos(x - t) dt
r +oo
= l x
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Réponse : YI : x r---+ l x
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a) Récurrence sur n.
• La propriété est vraie pour n = l, puisque
• Supposons la propriété vraie pour un n de N* fixé.
Soit (cxo, ... ,an+ 1) E IR"+ 2 tel que :
n+l
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L.., cx;yl YÏ + - t = 0.
i=O
En dérivant, on obtient uy) + vy2_ = 0, où
n+ I
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