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0
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0
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0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
s, = {x ~À COSX + µ, sin x; (À, µ, ) E JR
2 }
si1 n ( ~+rrZ) # 0 .
Calcul er la solution générale de l'ED
y" - y= a lx l + b
sur lR .
On obtient:
{
ax - b + (À - a)e x + (µ, + a)e -x
y(x) =
-ax - b +À ex + µ, e -x
(À , µ,) E JR 2 .
si x~ 0
si X;?:: 0'
Pour que la courbe représentative (C) de y admette en -oo
et +oo des asymptotes, il faut et il suffit que : µ, +a = 0 et
À =0.
Réponse: y : x ~ - (alxl + b + a e- lxl ).
1) Soit (f,g) convenant. Alors f ,g sont de classe C 1 sur lR et :
{
f(x) = l + g'(x)
"lx E lR,
·
g(x) = 1 + f'(x)
On en déduit que f,g sont de classe C 2 sur IR et solutions de
y" - y = - 1.
Il existe donc (a ,{3 ,y ,8) E IR 4 tel que:
"lx E IR,
.
{
f (x) = 1 + a cos x + f3 sin x
g (x)= l +ycosx+8sin x
2) Etudier la réciproque.
Réponse : { ( 1, 1)} .
La solution générale de y"+ ù}y = f est (cf. 8.4.3 2)
Exemple l p. 483) :
1 fox
y : x ~ -
f(u) sin w(x - u) du
(ù
0
+)... coswx + µ, sin wx, (À ,µ,) E IR 2 .
On a: y (O) = y(a) = 0
{==>
l
a
!
À=O
µ, sin wa = - ~ Io f (u) sin w(a - u) du.
1
y" + w 2 y = f
Réponse : • Si w a f/ rr Z, le problème
y (O) = y(a) = 0
admet une solution et une seule :
l fox
y: x ~ -
f(u ) sin w(x - u) du
(ù
0
l sin wt foa
- - - .- -
f(u) sin w(a - u) du.
w sm wa o
•Si wa E rr Z et foa f(u) sin w(a - u) du # 0, le problème
n'admet aucune solution.
• Si wa E rr Z et foa f(u) sin w(a - u) du= 0, alors les
1
y"+ w 2 y = f
solutions du problème
y(O) = y(a) = 0
sont les applications
1 fox
y : x ~ -
f(u) sin w(x - u) du+µ, sin wx,
w 0
µ, E IR .
D'après 8.4.3 2) Exemple 1 p. 483 , la solution générale de
y" + w 2 y = f sur IR est
] fox
y: x ~ -
f(u) sin w(x - u) du
(ù
0
+)... coswx + µ, sin wx, (À , µ,) E IR 2 .
On a, pour tout x de IR :
1 lox+ T
y(x + T) - y (x) = -
f( u) sin w(x + T - u) du
1) Unicité
N
(ù
0
1 Jx
- -
f(u) sinw(x - u) du
(ù
0
11x+ T
= -
f(u ) sin w(x - u) du
(ù
X
= ..!._ { T f(u) sin w(x - u) du
w lo
= (± foT f(u) sin wu du) coswx
-(± foT f( u ) coswit du) sinwx.
Si y : x ~ L anxn convient, alors N = deg(P) et on
n=O
obtient un système linéaire à matrice triangulaire inversible,
d'inconnue (an, . .. ,ao).
2) Existence
d2n p
La série L (-1 )" - 2 - (x) est à termes nuls à partir d'un
dx "
n;>O
N
certain rang. En notant N = deg(P) et y = L(-1)" p <
211 l ,
n=O
on a :
N
N
y" = L (-l )n p 2(n + l) = L (-l)m+l p (2m),
n=O
m= I
d'où y"+ y = P .
1) Soit (f,g ,h ) convenant.
• Puisque (vy E IR, f(y) = g(O)h(y)), f est continue.
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