"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Réponse :
S IR' . = {x r-----+ ~ + ( ÀX + µ )e 3 x ; (À, µ ) E JR 2 } .
1
y"+ y = - 2x
b) Résoudre y" + y = rr
y"+ y= 2x
sur J -oo; -% [
sur]- ?:.·?:. [
2 ' 2
,
surJ % ;+oo [
.
.
7r
7r
puis raccorder les solutions en - 2 et 2.
Réponse:
-2.x + (À + 2)cosx + µ, sinx si x ,::: _'.:
"' 2
SiR = X f---' n +À cos x + µ, sin x
Si _ '.: ' 5' .: X ' 5' .: '.: •
2 "' "' 2 '
2.x + (À+ 2)cos.x + µ, sin x
si '.: ,,;; X
2
1
y" - 3y' + 2y = x e -x
y" - 3y' + 2y =X ex
puis raccorder les solutions en O.
c) Résoudre
(À,µ) E JR
2
J.
sur] - oo; O[
sur ]O; +oo[
(À,µ) E JR
2
J.
d) La solution générale de (Eo ) y" - Sy' + 6 y = 0 est
y : x r-----+ À e 2 .x + µ e 3 x .
Appliquer la méthode de variation d es constantes po ur
obtenir une solution de (E) : chercher une solutio n y de (E)
sous la forme y = À e 2 x + µ e 3 X, où À,µ sont des fo nctions
inconnues.
La résolution de
donne
ch 2 x
e-2.x .
1
À
1 (x) = - ~
µ ' (x) = - 2ch X
Un calcul de primitives fournit :
et
1
À(x ) = - 2 Arctan(e.x) - -
chx
2 .
2
µ(x ) = 4 x - 2 ln(e ~ + 1) + - 2
- - .
e x + 1
Réponse:
S IR' . = {x r-----+ - 2 e 2 .x Arctan(ex)
+(4x - 2 Jn (e 2 .x + l ))e 3 x +À e 2 x + µ e3x ;
() .. , µ) E JR2}.
e) La solution générale de (Eo) y" +y = 0 est
y : x r-----+ À cosx + µ sin x.
Pour trouver une solutio n de (E) y"+ y = cotan x , utiliser la m éthode de variation des constantes.
Réponse :
{
1
1 + cosx
S]O·rr [ = x r--+ - - sin x ln
+ À cosx + µ sin x;
'
2
1 - COS X
() .. , µ) E JR2 }.
f) Réponse:
S
{
1 X r - t
]O:+oo[ = x r-----+ 2 e Ji e ln t dt
+ ~ e- x i x e
1 ln t dt+ À ex + µ e- x;
(À ,µ ) E JR 2 } .
g) Réponse :
SJO: +oo[ = {x r-----+ -ex ln x +À ex + µ e3x;
a) Réponse:
l
x2 - (rr 2 + 2) - (rr 2 + 6) cos x - 4rr sin x si x .;; - lT
y(x) = - x2 + (rr2 + 2) - (rr2 + 2) cos x
si - rr .;; x .;; lf ·
x2 - (rr2 + 2) - (rr 2 + 6) cos x + 4rr sin x si lT .;; x
b) Comme dans l'étude des E D linéaires du 2e ordre à coeffic ients constants (A na lyse MPSJ, 10.2.2), l'ense mble des
solutions de !'ED y'" + 2y" + y' + 2y = 0 est un JR -ev de
dimensio n 3 , engendré par x r-----+ cos x , x r-----+ sin x,
x r-----+ e- 2 x, puisque l' « équation caractéristiq ue »
r 3 + 2r 2 + r + 2 = 0 admet trois zéros sim ples dans C : i,
- i , - 2. Ai nsi, y : x r-----+ A cosx + B sin x + C e- 2 x,
(A , B ,C) E JR 3 . Calculer A ,B ,C pour satisfa ire les conditions en O.
1
Réponse: y (x ) = S (3 cosx + 9 sin x + 2 e - 2x).
Remarquer
(y"' + y') cos x - (y" + y) sin x = ! (cl' + y )cosx ) .
c
R éso udre
y"+ y = - - (CE JR)
sur chaqu e
COS X
J- % + nrr ; % + nrr [ , n E Z , e n utilisant la méthode de
7r
variation des constantes, puis étudier le raccord en 2
+ nrr ,
n E Z .
R éponse:
St = {x r-----+ C(cosx ln lcos x l + x sin x)
+ À cos x + µ sin x;
(C,À,µ, ) E JR3}
si In(%+ rrZ) = 0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Réponse :
S IR' . = {x r-----+ ~ + ( ÀX + µ )e 3 x ; (À, µ ) E JR 2 } .
1
y"+ y = - 2x
b) Résoudre y" + y = rr
y"+ y= 2x
sur J -oo; -% [
sur]- ?:.·?:. [
2 ' 2
,
surJ % ;+oo [
.
.
7r
7r
puis raccorder les solutions en - 2 et 2.
Réponse:
-2.x + (À + 2)cosx + µ, sinx si x ,::: _'.:
"' 2
SiR = X f---' n +À cos x + µ, sin x
Si _ '.: ' 5' .: X ' 5' .: '.: •
2 "' "' 2 '
2.x + (À+ 2)cos.x + µ, sin x
si '.: ,,;; X
2
1
y" - 3y' + 2y = x e -x
y" - 3y' + 2y =X ex
puis raccorder les solutions en O.
c) Résoudre
(À,µ) E JR
2
J.
sur] - oo; O[
sur ]O; +oo[
(À,µ) E JR
2
J.
d) La solution générale de (Eo ) y" - Sy' + 6 y = 0 est
y : x r-----+ À e 2 .x + µ e 3 x .
Appliquer la méthode de variation d es constantes po ur
obtenir une solution de (E) : chercher une solutio n y de (E)
sous la forme y = À e 2 x + µ e 3 X, où À,µ sont des fo nctions
inconnues.
La résolution de
donne
ch 2 x
e-2.x .
1
À
1 (x) = - ~
µ ' (x) = - 2ch X
Un calcul de primitives fournit :
et
1
À(x ) = - 2 Arctan(e.x) - -
chx
2 .
2
µ(x ) = 4 x - 2 ln(e ~ + 1) + - 2
- - .
e x + 1
Réponse:
S IR' . = {x r-----+ - 2 e 2 .x Arctan(ex)
+(4x - 2 Jn (e 2 .x + l ))e 3 x +À e 2 x + µ e3x ;
() .. , µ) E JR2}.
e) La solution générale de (Eo) y" +y = 0 est
y : x r-----+ À cosx + µ sin x.
Pour trouver une solutio n de (E) y"+ y = cotan x , utiliser la m éthode de variation des constantes.
Réponse :
{
1
1 + cosx
S]O·rr [ = x r--+ - - sin x ln
+ À cosx + µ sin x;
'
2
1 - COS X
() .. , µ) E JR2 }.
f) Réponse:
S
{
1 X r - t
]O:+oo[ = x r-----+ 2 e Ji e ln t dt
+ ~ e- x i x e
1 ln t dt+ À ex + µ e- x;
(À ,µ ) E JR 2 } .
g) Réponse :
SJO: +oo[ = {x r-----+ -ex ln x +À ex + µ e3x;
a) Réponse:
l
x2 - (rr 2 + 2) - (rr 2 + 6) cos x - 4rr sin x si x .;; - lT
y(x) = - x2 + (rr2 + 2) - (rr2 + 2) cos x
si - rr .;; x .;; lf ·
x2 - (rr2 + 2) - (rr 2 + 6) cos x + 4rr sin x si lT .;; x
b) Comme dans l'étude des E D linéaires du 2e ordre à coeffic ients constants (A na lyse MPSJ, 10.2.2), l'ense mble des
solutions de !'ED y'" + 2y" + y' + 2y = 0 est un JR -ev de
dimensio n 3 , engendré par x r-----+ cos x , x r-----+ sin x,
x r-----+ e- 2 x, puisque l' « équation caractéristiq ue »
r 3 + 2r 2 + r + 2 = 0 admet trois zéros sim ples dans C : i,
- i , - 2. Ai nsi, y : x r-----+ A cosx + B sin x + C e- 2 x,
(A , B ,C) E JR 3 . Calculer A ,B ,C pour satisfa ire les conditions en O.
1
Réponse: y (x ) = S (3 cosx + 9 sin x + 2 e - 2x).
Remarquer
(y"' + y') cos x - (y" + y) sin x = ! (cl' + y )cosx ) .
c
R éso udre
y"+ y = - - (CE JR)
sur chaqu e
COS X
J- % + nrr ; % + nrr [ , n E Z , e n utilisant la méthode de
7r
variation des constantes, puis étudier le raccord en 2
+ nrr ,
n E Z .
R éponse:
St = {x r-----+ C(cosx ln lcos x l + x sin x)
+ À cos x + µ sin x;
(C,À,µ, ) E JR3}
si In(%+ rrZ) = 0