"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
si t i- 0 l si 0 E / .
si t = 0
r) •Une solution de l'ED (eo) sans second membre est
x 1 : t t----+ t 2 - t.
• Chercher une solution de (eo) sous la forme x = ÀX J,
À fonction inconnue. On obtient l'ED :
t(t- l )À.
11 + (3t - 1)À
1 = 0,
pour laque lle on peut prendre
I
1
l
À (t) =
2
, À(t) = lnlt l - ln lt -11- - - .
t(t - 1)
t - l
• Une solution de l'ED avec second membre est t t----+ t 2 .
Réponse:
s, = { t t----+ À(t 2 - t) + µ,(t 2 - t)
(ln lt l - ln lt - 11- t ~ 1
) ; (À ,µ,) E IR
2 }
si 0 rf. I et 1 rf. I.
S1 = {t t----+ À.(1 2 - t); À E IR} si 0 E l ou 1 E /.
s) • L'ED (eo) t 2 x" - 3tx' + 4x = 0 est une ED d'Euler. On
effectue un changement de variable u = lnl t l , donc aussi un
changement de fonction y(u) = x(t). L'ED obtenue en y est:
y" - 4y' + 4y = 0 , dont la solution générale est
y : u t----+ (Àu + µ,)e 211 , d'où la solution générale de (eo) sur
tout intervalle ouvert l ne contenant pas 0 :
X : t t----+ (À ln lt l + µ,)t 2 .
•Chercher une solution polynomiale pour l'ED avec second
membre. L'application t t----+ t 3 convient.
Réponse:
S1 = {t t----+ t 3 +(À ln lt l + µ,)t 2 ; (À,µ,) E IR 2 } si 0 r/. l
S1 = {t t----+ t 3 + µ,t 2 ; µ, E IR} si 0 E /.
t) • x1 : t t----+ sin t et x2 : t t----+ sin 2t sont solutions de
l'ED puisqu'alors le déterminant considéré a deux lignes
identiques.
• L e coefficient de x" dans l'ED est 2 sin 3 t ; étudi er le raccord en mr, n E Z .
Réponse:
S 1 = {t t----+ À sin t +µ,s in 2t; (À,µ,) E IR 2 }
sil n rr Z = 0
l l
À 1 sin t + µ, sin 21
S = t >--+ 0
I
( -1)"
À z sint + (µ, + -
2
- (À J - Àz)) sin 2t
sir < nn
si t = mr
si t > mr
(À J ,À.2,/..l) E IR
3
I
sil n rr Z = {nn)
S1 = {t t----+ À sin t +µ,s in 2t; (À,µ,) E IR 2 }
si l n rr Z contient au moins deux éléments.
a) Soient L a,,x" une série entière de rayon > 0, y sa
n;;;:O
somme. Montrer que, po ur que y vérifie l'ED, il faut et il sufa,,
fit que: 'in EN a 1 = - - - - - -
, n+
(n + 1)(2n + 1)'
c'est-à-dire :
2"
'in EN, a,, = ( 2
n)! ao.
On reconnaît ici un DSE(O) classique.
Réponse : les solutions de !'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo 2"
y : x t----+ ao L -- x". L e rayon de ces séries entières
n=O (2n)!
est +oo. De plus :
1
ao cos(,/=2X) si x ~ 0
"lx E IR, y(x) =
ao ch(.J2x)
s i x ;;;: 0
b) Soient L a,,x" une série entière de rayon > 0, y sa
n;;;:O
somme. Montrer que, pour que y vérifie l'ED, il faut et il suf4n2 + 2n + 1
fit que: 'in E N , a,,+ J = 2 (n + l)( 2 n + l ) a,,.
Réponse : les solutions de l'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo
y : x t----+ L a,,x" où ao E IR et (an) 11 ;;:,Q est définie par:
n=O
'in E N,
4n 2 + 2n + 1
an+I = 2(n + 1)(2n + 1) ;
Je rayon est 1 (si ao i- 0).
c) Soient L a 11 x
11 une série entière, y sa so mme. Montrer
11;,:0
que, pour que y vérifie l'ED, il faut et il suffit que :
'in E N, (n + À)a,,+ 1 = (n + l)a,,.
Réponse: 1) Si À rf. z_, les solutions de !'ED dSE(O) sont les
+oo
fonctions y : x t----+ L a,,x", où ao E IR et (a,,),,EN est
n=O
définie par : 'in E N,
n+l
a 11 +1 = - - a,,;
n+À
si ao i- 0, le rayon est 1.
E n particulier, pour À = l , on obtient les séries entières
+oo
ao L: x"
n=O
ao
(ao E IR fi xé), de sommes - -.
1 -x
2) Si À E z_, les solutio ns de l'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo
y : x t----+ L a,,x" où a -À+ l E IR et (a,,),,;;;:-À+l est
n=- À+ I
définie par :
a) La solution générale de (Eo) y" - 6y' + 9y = 0 est
x t----+ (À.X + µ, )e 3 x, et une solution particulière de (E) est
1
X
1 751
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r) •Une solution de l'ED (eo) sans second membre est
x 1 : t t----+ t 2 - t.
• Chercher une solution de (eo) sous la forme x = ÀX J,
À fonction inconnue. On obtient l'ED :
t(t- l )À.
11 + (3t - 1)À
1 = 0,
pour laque lle on peut prendre
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l
À (t) =
2
, À(t) = lnlt l - ln lt -11- - - .
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• Une solution de l'ED avec second membre est t t----+ t 2 .
Réponse:
s, = { t t----+ À(t 2 - t) + µ,(t 2 - t)
(ln lt l - ln lt - 11- t ~ 1
) ; (À ,µ,) E IR
2 }
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S1 = {t t----+ À.(1 2 - t); À E IR} si 0 E l ou 1 E /.
s) • L'ED (eo) t 2 x" - 3tx' + 4x = 0 est une ED d'Euler. On
effectue un changement de variable u = lnl t l , donc aussi un
changement de fonction y(u) = x(t). L'ED obtenue en y est:
y" - 4y' + 4y = 0 , dont la solution générale est
y : u t----+ (Àu + µ,)e 211 , d'où la solution générale de (eo) sur
tout intervalle ouvert l ne contenant pas 0 :
X : t t----+ (À ln lt l + µ,)t 2 .
•Chercher une solution polynomiale pour l'ED avec second
membre. L'application t t----+ t 3 convient.
Réponse:
S1 = {t t----+ t 3 +(À ln lt l + µ,)t 2 ; (À,µ,) E IR 2 } si 0 r/. l
S1 = {t t----+ t 3 + µ,t 2 ; µ, E IR} si 0 E /.
t) • x1 : t t----+ sin t et x2 : t t----+ sin 2t sont solutions de
l'ED puisqu'alors le déterminant considéré a deux lignes
identiques.
• L e coefficient de x" dans l'ED est 2 sin 3 t ; étudi er le raccord en mr, n E Z .
Réponse:
S 1 = {t t----+ À sin t +µ,s in 2t; (À,µ,) E IR 2 }
sil n rr Z = 0
l l
À 1 sin t + µ, sin 21
S = t >--+ 0
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( -1)"
À z sint + (µ, + -
2
- (À J - Àz)) sin 2t
sir < nn
si t = mr
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3
I
sil n rr Z = {nn)
S1 = {t t----+ À sin t +µ,s in 2t; (À,µ,) E IR 2 }
si l n rr Z contient au moins deux éléments.
a) Soient L a,,x" une série entière de rayon > 0, y sa
n;;;:O
somme. Montrer que, po ur que y vérifie l'ED, il faut et il sufa,,
fit que: 'in EN a 1 = - - - - - -
, n+
(n + 1)(2n + 1)'
c'est-à-dire :
2"
'in EN, a,, = ( 2
n)! ao.
On reconnaît ici un DSE(O) classique.
Réponse : les solutions de !'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo 2"
y : x t----+ ao L -- x". L e rayon de ces séries entières
n=O (2n)!
est +oo. De plus :
1
ao cos(,/=2X) si x ~ 0
"lx E IR, y(x) =
ao ch(.J2x)
s i x ;;;: 0
b) Soient L a,,x" une série entière de rayon > 0, y sa
n;;;:O
somme. Montrer que, pour que y vérifie l'ED, il faut et il suf4n2 + 2n + 1
fit que: 'in E N , a,,+ J = 2 (n + l)( 2 n + l ) a,,.
Réponse : les solutions de l'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo
y : x t----+ L a,,x" où ao E IR et (an) 11 ;;:,Q est définie par:
n=O
'in E N,
4n 2 + 2n + 1
an+I = 2(n + 1)(2n + 1) ;
Je rayon est 1 (si ao i- 0).
c) Soient L a 11 x
11 une série entière, y sa so mme. Montrer
11;,:0
que, pour que y vérifie l'ED, il faut et il suffit que :
'in E N, (n + À)a,,+ 1 = (n + l)a,,.
Réponse: 1) Si À rf. z_, les solutions de !'ED dSE(O) sont les
+oo
fonctions y : x t----+ L a,,x", où ao E IR et (a,,),,EN est
n=O
définie par : 'in E N,
n+l
a 11 +1 = - - a,,;
n+À
si ao i- 0, le rayon est 1.
E n particulier, pour À = l , on obtient les séries entières
+oo
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n=O
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(ao E IR fi xé), de sommes - -.
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2) Si À E z_, les solutio ns de l'ED dSE(O) sont les fonctions
+oo
y : x t----+ L a,,x" où a -À+ l E IR et (a,,),,;;;:-À+l est
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définie par :
a) La solution générale de (Eo) y" - 6y' + 9y = 0 est
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1
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