"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
• Etudier les raccords en - 1 et O.
Réponse:
St = {t f-----+ Àt + µ(t 2 + 2t lnJt J - l) ; (À ,µ ) E IR 2 }
si - 1 {
{
>..1 + µ1(1 2 +2tlnlt l- l ) sit ~- 1
s, = l f---+
ÀI + µ2(1 2 + 2t lnlt l - 1) si t ~ - 1
(À, µJ ,µ 2) E IR 3 j,
si - 1 E l e t 0 St = {t f---+ Àt; À E IR} si 0 E /.
l) • t f-----+ t 3 est so lution.
• L a recherche d 'une « deuxième » so lution sous la forme
x = >..t 3 (À fonction inconnue) conduit à l'ED
e- 1
t>..
11 + (t + 4) >..' = 0, d'où, par e xemple, >..'(t) = - 4
, puis,
t
après intégrations par parties :
l
2
i
1 f e - 1
À(t ) = - (t - t +2)e- + -
-
dt.
6t3
6
t
Pour le raccord en 0, utili ser un théorème d' intégration des
relations de comparaison, 3.3.2 Prop. 2 p. 183 , pour
montrer:
~ du ~ ln(-t),
1
1
-11
~du ~ lnt.
li
t - Il
-1 u
1~ 0 -
1 u
1~ 0+
Réponse:
St= { 1 >---->À
12
- I +
2 e1 + :.=. /
1
c11
du) + µ1 3 ; (!.. ,µ ) E R 2 }
6
6 - 1 u
si I C] - oo; O[
{
(
12 - 1 + 2
13 {' e - 11
)
}
S1 = 1 >----> À - -
6
-
e1 + "6 Ji -;; du + µ1
3 ; (À,µ) E R
2
si JO; +oo[ c t
s, = 1 >--->
À - - - e1 + -
-
du + 1~ 11
3
sil < Ü
(
1
2
- 1 +2
1
3
1
1 e-" )
6
6 - 1 Il
À
si 1 = 0 ;
3
À - - - e1 + -
-du +µ21 3
(
1
2
-1 + 2
1
3
1i
1 e- " )
6
6 1 li
si 1 > 0
(i.. ,µ 1,µ2) E R 3 }
si 0 E / .
m) L'indication de l'énoncé revient à remarquer que
1
t f-----+ - · - est solution. L'ED obte nue en y est :
1 + t
ty" +y'= O.
Réponse:
St = t f-----+
; (>..,µ) E IR
{
À lnJt l + µ,
2 }
l +t
s i - l 1 1
À ln(-t)
s, = t f---+ _ ; + t si t # - 1 ; À E IR l
si t = - l
si - 1 E l et 0 s, = {t f-----+ ____!!:___; µ E IR } si - 1 l+t
s, = {0}
si -1 E l et 0 E l.
1
n) En notant s = sgn (t) et en remplaçant x par (ct)-2 y dans
l'ED proposée, on se ramè ne à y" - y = O.
Réponse:
{
À ch t + µ sh t
2 }
St = t f-----+
.jjtî
; (>..,µ) E IR
si 0 rf. l
St = {0} si 0 E / .
1
o) •Si x et - sont so lutions, alors
X
1
(1 - cos 4t)x
11 + 2x' sin4t - 8x = 0
2x' 2
x"
x'
8
(l - cos 4t) ( - - - - ) - 2 - sin4t - - = O'
x3
x 2
x 2
x
d'où (
x x. ' )2
8
1 - cos4t
2
Résoudre x' - - -x = 0 · on obtient, par e xemple,
s in 2t
'
x(t) =tant.
• Vérifier que t f---+ tan t e t t f-----+ cotan t sont solutions de
l'ED proposée sur tout inte rvalle l tel que I n ( ~ Z ) = 0.
71:
•Etudier les raccords en - + nn (n E Z ) et en nn (n E Z).
2
Réponse:
St = {t f-----+ À tan t+µ, cotant; (>.. ,µ) E IR 2 }
si I n (~ z) = 0
St = {t f-----+ À tant; À E IR}
si 1 n(~ + n z)= 0 e t I n (nZ)f::-0
St= {t f---+ µcotant;µ E IR}
si l n 71: z = 0 et l n ( ~ + 71: z) # 0
5 1 ={0} si / nnZ#-0 et 1 n ( ~+ nz) f:.0.
p) Même démarche qu'en f). Pour que t f-----+ cosrp(t) et
t f-----+ s in rp (t) soie nt solutions de l'ED proposée, il suffit que:
{
-tep" (t) + rp' (t) = 0
-rp'2(t) + t2 = 0 .
t2
L 'application

convient.
Réponse:
St= lt t----+ À cos t: +µ sin t:; (>.. ,µ) E IR2 J.
q) Réponse:
S
{
-1 + À ch t + µ sh t
2 }
t = t t----+
2
; (>.., µ ) E IR
t
si 0 rf. l