0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
En déduire
1
sinu
À (u) = - - -,
cos 4 u
1
l
µ (u ) = - 3- ,
cos u
puis, par exemple :
Réponse:
l
À(u ) = - - - ,
3 cos3 u
µ. (u ) = - - ln
+ - -
1 ( 1
1 + sin u
sin u )
2 2
1 - sin u
cos2u ·
1
t 2 - 2
t
S / = t >-----+ - - + Jt2+1 ln (t + Jt2+l)
6
c2 + 1
À+ µt
21
+ ~ ; (À, µ.) E IR .
v t 2 + 1
d) Notons x(t) = y (u ) ; l'ED proposée se ramène à :
(1 + t 2 )rp
12 (t )y
11 (u ) + ( (1 + t 2 )rp
11 (t)
+ t
(t) ) y'(u ) +a
2 y(u ) =O.
1
En choisissant
v 1 + t 2
( l + t 2 )rp"(t) + t rp 1 (t ) =O.
Ainsi, le changement de variable u = ln (t + fi+fi)
ramène l'ED proposée à: y"(u ) + a 2 y(u ) =O.
Réponse:
S1 = {t >-----+ À cos( a ln(t + fi+fi))
+µ sin( a ln(t + fi+fi))
(À,µ.) E IR 2 }.
e) 1) Supposons qu'il existe (x1 ,x2) convenant. Déduire
1 +
1 0
12 + 12
2
x1x 1 x2x 2 = etx 1
x 2 = cos t.
En notant W = x 1 x2_ - x ] x2 le wronskien de (x 1 ,x 2 ) , on a :
(cos t ) W' +(sin t ) W = O.
Il existe donc À E IR tel que :
Vt E ]- ~; ~[ , W (t) =À cos t.
Déduire 1
Àxl = - x2 cos t
1
,
Àx 2 = x i cost
puis
À
2 cos 2 t = À 2 (x] 2 +x2_ 2 )
( 2
2) 2
2
= X2 + X J COS t = COS t,
d'où (quitte à échanger x 1 ,x2 ) : À = 1.
En notant z = x 1 + ix2, on obtient
Z 1 = i cos t z, d'où z = a ei si nr (a E C),
puis XJ = cos(sin t ) , x2 = sin(sin t ) en choisissant a = 1 .
2) Vérifier que le couple (x1 ,x2) obtenu convient et est libre.
Réponse: S1 = {t >-----+ À cos(sin t ) + µ sin(sin t ) ;
(À, µ ) E IR 2 }
f) Soit XJ : t >-----+ cos
l'ED proposée, il suffit que :
1
- (l - t 2 )rp' 2 (t) + 9 = 0
- (l - t 2 )rp"(t) + trp 1 (t ) =O.
L'application
-----+ 3 Arcsin t convient.
Enfin, il est clair que la famille (x1 ,x2) obtenue est libre.
Réponse:
s, = { t t----+ À ( 1 - 4t2) Jl=f2 + µ(3t - 4t3 );
(À,µ.) E IR 2 }.
g) Pour que x1 et tx1 soient solutions de l'ED proposée, il
faut et il suffit que :
1
1
2
4
1
x" +x' tan t +xi ( ~+~ tan 2 r) = 0
(t x' ( + 2x!) + (t xi + x 1 )tan t + t x 1 ( ~ + ~ tan
2 t) = 0 '
c 'est-à-dire
l
2xl + XJ tant = 0
xr + x ] tant + x 1 (~ + ~ tan
2
r) = 0
(1)
(2)
Montre r que (2) se déduit de (1) et de l'équation « dérivée»
de ( 1). Résoudre ( 1).
Réponse: S 1 = {t >-----+ (Àt + µ)FcQSi; (À,µ) E IR2} .
h) Réponse:
S1 = {t >-----+ Àt 3 + µ.t 2 ; (À, µ. ) E IR 2 } si 0 !f. l
si t :( 0
si t ~ 0
(À ( ,À2,µ,) E JR 3 }
si 0 E /.
i) Réponse:
S1 = {t >-----+ À(f 2 + 1) + µt ; (À, µ ) E IR 2 }.
j) Réponse:
S 1 ={t>-----+ À(t 2 + 1) +µ. e
1 ; (À, µ. ) E IR 2 } si 1 !f. l
si r ::;,; I
l l
À 1 (1
2 + 1) + µ, e'
S1 = r ..........
(2Àt
2À2
)
À2(1 2 + 1) + -;- - -;- + µ,1 e' si t > 1 '
(À J ,À2,µ) E IR 3 j, si 1 E 1.
k ) • t >-----+ t est solution.
•On cherche une « deuxième » solution x sous la forme x = Àt,
À fonction inconnue. En reportant dans l'ED proposée, on se
ramène, sur] - oo; O[ et sur ]O; +oo[, à t (t + 1)À
11 +2À 1 = 0 ,
1
d'où, par exemple, À(t) = t + 2 lnlt l - -, puis
t
x(t) = t 2 + 2t lnl t l - 1.
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