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0
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N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
En notant X = ( ~ ~) , on a :
'-x+2
X' = X A + B X {::=} YI -
y
1
x' =0
z = -x - z
u' =- y+ z +u
Résoudre successivement ces quatre ED.
Réponse:
X(t) = (
A
-A+ ce1
A
- - + B e2r
)
2
A
C
'
- - Be 21 - - e- 1 + De
1
2
2
(A,B,C,D ) E IR 4 .
1re méthode
(llX llD' =('XX)'=
1
X' X +
1
X X'
= ~AX)X +
1
XAX = 2XAX ;;::: 0 ,
donc li X Ili est croissante, puis ll Xll 2 est croissante.
ze méthode
Puisque A est symétrique réelle, A est diagonalisable
(cf. Algèbre et géométrie MP). En notant À 1, ... , Àn les
valeurs propres de A et ( V1 , ... , Vn) une base orthonormée
de vecteurs propres associés, la solution générale de
X' = AX est, d'après 8.3.6 1) a) Théorème p. 463 :
Il
X : t 1--+ L CkeÀk
1 Vk, (CJ , ... ,Cn) E !Rn.
k= I
n
On a alors, pour tout t de IR , ll X (t) ll ~ = L c}e 2 Àkt , ce
k= l
qui montre, puisque À J , ... , Àn sont ~ 0 (A est symétrique
positive) que ll X l l ~ est croissante.
Calculer A, A 2 , A 3 , A 4 . Montrer, par une récurrence immé1
A2p = (- l )PI
diate: V'p E N,
.
A2p+l = (- l )PA
D'où :
+oo l
etA = 2=-tnAn
n=O n !
Réponse:
+oo (-l)Pt2p
+oo (-l)Pt2p+ l
-L.::
l+L
A.
p = Û
(2p)!
p = Û (2p + l) !
A
(cos t
et =
sin t
-sint) .
cost
En dérivant par rapport à t :
V't E IR , (A+ B)e 1 puis, en dérivant encore par rapport à t :
V't E IR , (A + B) 2 e 1 C A+ B)
= A2etAerB + 2 Ae1A BerB + e'A B2etB.
En remplaçant t par 0 : (A+ B ) 2 = A 2 + 2A B + B 2 .
Mais: (A+B) 2 =A 2 +AB + BA+B 2 ,
d'où : AB= BA.
D'après 8.3.6 3) Théorème p. 469, la solution générale de
X' = AX +Best donnée par:
X(t) = e
1 A fo
1
e - sA B(s) ds + e
1 A Yo, Yo E M n,l (JK).
Soitt E IR . Ona :
X(t + T ) = X (t )
['+T
{::=} e'AeTA Jo
e- sA B (s) ds + e'AeTAyo
= e
1 A fo
1
e- sA B (s) ds + e
1 A Yo
{::=} eTA foT e-sA B(s) ds + eTA J; +T e-sA B(s) ds
- fo
1
e-sA B(s) ds = (1,, - eTA)Yo.
Le changement de variable u = s - Tet la T-périodicité de
B montrent:
eT A f ;+T e-sA B(s) ds = fo
1
e - uA B(u ) du.
Ainsi, X est T-périodique si et seulement si :
eTA foT e -s A B(s) ds = (1,. - eTA)Yo.
Par hypothèse, In - eT A E GLn (JK)
il existe donc Yo
unique tel que X soit Y-périodique, et
a) Réponse :
S, = {t 1--+ (Àe
1
+ µ,)e- 2 e
1
; (À,µ,) E JR 2 } .
b) Réponse:
S, = {t 1--+ e 1 + Àee- i + µ,e- e- i ; (À,µ,) E JR 2 } .
c) Le changement de variable u = Arctan t, et donc de fonction inconnue y: u 1--+ y(u) = x(t), ramène l'ED proposée
1
à: y" (u ) + y (u) = - - 4 - . Appliquer la méthode de variacos u
tions des constantes : chercher une solution y sous la forme
y(u) = À(u) cosu + µ,(u) sin u, où
1
À
1 (u) cosu + µ,' (u ) sin u = 0
- À
1 (u ) sinu + µ,'(u) cosu = ~ ·
cos u