"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
e) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et admet exactement trois
points critiques : (- 1, - 1), (0,0), (1,1).
Re marquer aussi :
'v'(x ,y) E IR
2 ,
f(-x ,-y) = f(x ,y).
De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et, en (1, l),
r = -10, s = 2, t = -10, donc s 2 - rt < 0 et r < O.
En (0,0), s 2 - rt = 0 , ce qui ne permet pas de conclure.
Mais, pour tout x de ]0; 1 [ :
f(x,-x + x
2 ) = -(x - x
2 )
4 < 0
et f(x ,0) = x 2 - x 4 > 0,
ce qui montre que f n'admet pas d'extremum local e n (0,0).
Réponse : • f admet deux extremums locaux exactement, en
(1, 1) et (-1 , - 1), ce sont des maximums locaux stricts et
.f(l , l ) = .f(-1,-1) = 2.
• f (x ,0) = x
2 - x
4
----+ -oo, donc f n'est pas minorée.
X ---+ +OO
•On a, pour tout (h ,k) E IR
2 :
f(l + h , l + k) - f( l , l )
= (2 + h + k)
2 - (l + h)
4 - (l + k)
4 - 2
= -5h
2 - 5k
2
+ 2hk - 4h
3 - 4k
3 - h
4 - k4
= -(h - k)
2 - h
2 (2 + h)
2 - k
2 (2 + k)
2 ~ 0,
donc f admet un maximum global en ( l , 1) , et aussi f admet
un maximum global en (-1 ,-1).
f) • f est de classe C
1 sur l'ouvert (IR+/ et:
1
t:cx,y) = ln y- ~
'v'(x ,y) E (IR~_)
2
,
X
·
.t; cx,y) = - - ln x
y
On a, pour tout (x, y) de (IR+. ) 2 :
J; (x ,y) = J;, (x ,y)=O <=> !;:l:x
1
ln x - ln (lnx) - -
=0.
lnx
Etudier les variations de fl--H -ln r- }
s'annule une fois et une seule, en l.
Ainsi, f admet un point critique et un seul, (e,e).
De plus, f est de classe C 2 sur IR 2 et, en (e,e) :
1
1
r=-, s =O, t=--, doncs 2 -rt > 0.
e
e
• f(x , e)=x-elnx~ +oo
x ---->+ao
etf(x,x 2 ) = 2x ln x -x 2 ln x ~ -oo.
x ---->+ao
Réponse : f n'admet ni extremum local ni extremum global.
g) • f est de classe C
1 sur l'ouvert (IR+. ) 2 et :
1
1;cx,y) = xy2 - Ày - x11 2
'v'(x ,y) E (IR+. ) 2 ,
f ;, (x,y) = x 2 y - ÀX - 2
y
La résolution de J;(x,y) = f ;, (x ,y) = 0 seramèneàcelle
{
y= X
de :
5
3 l
0 .
X - ÀX -
=
Etudier les variations de P : [O; +oo[---+ IR
x~x
5 - Àx
3 - I
X
0
ff
-
P' (x )
0
+
- 1
P (x)
\.
/
+oo
+oo
En déduire que f admet un point critique et un seul (a,a) , où
a est l'unique zéro de P dans ]O; +oo[ .
De plus, f est de classe c 2 sur (IR+.) 2 et, en (a,a),
2
r --- t --- a 2 + - s --- 2a 2 - À
--- --a3' --'
d'où s
2 - rt = ( 3a
2 - À+ a
2
3 ) ( a
2 - À - : 3 )
= -~ (sa 2 -3À) (a 2 -À) < 0, car À = a 2 - a
1
3
et
3À
0:2 > À > -
5
1
l
• f(x , l )= - x
2
-Àx+ - + l ~ +oo, doncfn'est
2
X
X---> +oo
pas majorée.
• Ona: 'v'(x,y)E(IR+.)
2 ,
1
À
2
l
l
À
2
f(x,y) = 2(xy - À)2 - 2 +~+y > -2,
ce qui montre que f est minorée.
Montrons f(x ,y)
+ oo.
ll (x ,y)ll ----> +oo
Soit A E]À; +oo[ fixé.
1
À 2
Si xy ~ A, alors.f(x,y) ~ 2
cA -À) 2 - 2·
À
2
X
y
Si 0 < xy < A , alorsf(x ,y) ~ - 2
+A+ A .
On en déduit :
'v' B > 0, 3C > O,'v'(x,y) E (IR+.) 2 ,
( ll (x,y) ll > C ===? f(x,y) > B),
c'est-à-dire: f (x,y) ----+ +oo.
ll(x ,y)ll----> +oo
Comme f est de plus continue sur (IR+. ) 2 , on peut appliquer
9.3.4 Prop. p. 540: f admet un minimum global. Comme f admet
aussi un minimum local et un seul, en (a,a) , Je minimum global de f est atteint en (a ,a) et en ce point seulement.
Réponse : • f admet un extremum local et un seul , en (a,a) ,
où a E]O; +oo[ est l'unique zéro de x 5 - ÀX 3 - 1 = 0 dans
]0; +oo[ ; c'est un minimum local strict.
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0
c
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0
(V)
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0
N
@
.......
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>0..
0
u
e) • f est de classe C 1 sur l'ouvert IR 2 et admet exactement trois
points critiques : (- 1, - 1), (0,0), (1,1).
Re marquer aussi :
'v'(x ,y) E IR
2 ,
f(-x ,-y) = f(x ,y).
De plus, f est de classe c 2 sur IR 2 et, en (1, l),
r = -10, s = 2, t = -10, donc s 2 - rt < 0 et r < O.
En (0,0), s 2 - rt = 0 , ce qui ne permet pas de conclure.
Mais, pour tout x de ]0; 1 [ :
f(x,-x + x
2 ) = -(x - x
2 )
4 < 0
et f(x ,0) = x 2 - x 4 > 0,
ce qui montre que f n'admet pas d'extremum local e n (0,0).
Réponse : • f admet deux extremums locaux exactement, en
(1, 1) et (-1 , - 1), ce sont des maximums locaux stricts et
.f(l , l ) = .f(-1,-1) = 2.
• f (x ,0) = x
2 - x
4
----+ -oo, donc f n'est pas minorée.
X ---+ +OO
•On a, pour tout (h ,k) E IR
2 :
f(l + h , l + k) - f( l , l )
= (2 + h + k)
2 - (l + h)
4 - (l + k)
4 - 2
= -5h
2 - 5k
2
+ 2hk - 4h
3 - 4k
3 - h
4 - k4
= -(h - k)
2 - h
2 (2 + h)
2 - k
2 (2 + k)
2 ~ 0,
donc f admet un maximum global en ( l , 1) , et aussi f admet
un maximum global en (-1 ,-1).
f) • f est de classe C
1 sur l'ouvert (IR+/ et:
1
t:cx,y) = ln y- ~
'v'(x ,y) E (IR~_)
2
,
X
·
.t; cx,y) = - - ln x
y
On a, pour tout (x, y) de (IR+. ) 2 :
J; (x ,y) = J;, (x ,y)=O <=> !;:l:x
1
ln x - ln (lnx) - -
=0.
lnx
Etudier les variations de fl--H -ln r- }
s'annule une fois et une seule, en l.
Ainsi, f admet un point critique et un seul, (e,e).
De plus, f est de classe C 2 sur IR 2 et, en (e,e) :
1
1
r=-, s =O, t=--, doncs 2 -rt > 0.
e
e
• f(x , e)=x-elnx~ +oo
x ---->+ao
etf(x,x 2 ) = 2x ln x -x 2 ln x ~ -oo.
x ---->+ao
Réponse : f n'admet ni extremum local ni extremum global.
g) • f est de classe C
1 sur l'ouvert (IR+. ) 2 et :
1
1;cx,y) = xy2 - Ày - x11 2
'v'(x ,y) E (IR+. ) 2 ,
f ;, (x,y) = x 2 y - ÀX - 2
y
La résolution de J;(x,y) = f ;, (x ,y) = 0 seramèneàcelle
{
y= X
de :
5
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0 .
X - ÀX -
=
Etudier les variations de P : [O; +oo[---+ IR
x~x
5 - Àx
3 - I
X
0
ff
-
P' (x )
0
+
- 1
P (x)
\.
/
+oo
+oo
En déduire que f admet un point critique et un seul (a,a) , où
a est l'unique zéro de P dans ]O; +oo[ .
De plus, f est de classe c 2 sur (IR+.) 2 et, en (a,a),
2
r --- t --- a 2 + - s --- 2a 2 - À
--- --a3' --'
d'où s
2 - rt = ( 3a
2 - À+ a
2
3 ) ( a
2 - À - : 3 )
= -~ (sa 2 -3À) (a 2 -À) < 0, car À = a 2 - a
1
3
et
3À
0:2 > À > -
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l
• f(x , l )= - x
2
-Àx+ - + l ~ +oo, doncfn'est
2
X
X---> +oo
pas majorée.
• Ona: 'v'(x,y)E(IR+.)
2 ,
1
À
2
l
l
À
2
f(x,y) = 2(xy - À)2 - 2 +~+y > -2,
ce qui montre que f est minorée.
Montrons f(x ,y)
+ oo.
ll (x ,y)ll ----> +oo
Soit A E]À; +oo[ fixé.
1
À 2
Si xy ~ A, alors.f(x,y) ~ 2
cA -À) 2 - 2·
À
2
X
y
Si 0 < xy < A , alorsf(x ,y) ~ - 2
+A+ A .
On en déduit :
'v' B > 0, 3C > O,'v'(x,y) E (IR+.) 2 ,
( ll (x,y) ll > C ===? f(x,y) > B),
c'est-à-dire: f (x,y) ----+ +oo.
ll(x ,y)ll----> +oo
Comme f est de plus continue sur (IR+. ) 2 , on peut appliquer
9.3.4 Prop. p. 540: f admet un minimum global. Comme f admet
aussi un minimum local et un seul, en (a,a) , Je minimum global de f est atteint en (a ,a) et en ce point seulement.
Réponse : • f admet un extremum local et un seul , en (a,a) ,
où a E]O; +oo[ est l'unique zéro de x 5 - ÀX 3 - 1 = 0 dans
]0; +oo[ ; c'est un minimum local strict.
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