"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
L'application le,>. ainsi obtenue est solution de (C), définie
sur]) .. ; +oo[ (si À > 0) ou ] - oo; À[ (si À < 0), et ne peut
être prolongée en À en une fonction dérivable puisque
I l; >.(x)I ~ + oo.
'
X-'>À
x 2 + y2
D'autre part, puisque l'application (x,y) f------+
est de
xy
classe C 1 sur l'ouvert (IR*) 2 , le théorème de Cauchy-Lipschitz
(8.2.1 3) Théorème p. 437) montre que le problème de Cauchy
l
' x
2 + y2
Y =
xy
admet une solution maximale et une seule, qui
y(xo) = Yo
est donc le,>. définie plus haut.
Réponse : les solutions sont les (restrictions à des intervalles
des) fonctions :
• ]À; +oo[---+ IR,
n-~15xJ2 1n f
• ] - oo; À[---+ IR,
x~15xJ2 1n f
(c,À) E { -1, 1} x IR~,
(c,À) E {-1,l} x IR~.
y
Allure des courbes intégrales
b) Raisonner comme dans a).
X
Réponse : Les solutions sont les (restrictions à des intervalles
des) fonctions le,>., (s,À)E{- 1, l} xIR*, définies sur
]
3
:; +oo[ si À> 0 , ] -oo;
3
: [ si À< 0 , telles que, pour
À > 0 par exemple, les courbes représentatives de 11 ,>. et
l-u sont les parties de la courbe (y>.) de représentation
, . {X = À( l + t + t
2 )
111>
•
,
d
parametnque
2 , t E u.., s1tuees e part et
y = Àt(l + t + t )
d'autre du point de (Y>.) à tangente parallèle à (y' y).
y
X
Allure des courbes intégrales
c) Le changement de fonction inconnue z = x +y ramène
l'ED de l'énoncé à l'ED z' = ch z + 1 , qui est à variables
séparables ; de plus :
\:/t E IR, ch t + 1 # 0.
Réponse : les solutions maximales sont les
y : ]À - 1; À + 1 [-----+ IR, À E IR .
x - (À -1 )
x~ -x+ln (À+ l)-x
y
X
courbes intégrales
d) JI s'agit d'une ED de Bernoulli normalisée.
• Cherchons d'abord les solutions y sur un intervalle l telles
que:
\:/x E ! , y(x ) i= O.
l
Le changement de fonction inconnue z = - ramène à l'ED
y
linéaire du 1er ordre z' + z + 1 = 0, dont la solution générale est z : x f------+ - 1 +À e-x (À E IR), d 'où
y : X t---'? - - - -
- 1 + Àe-X
Considérons, pour À E IR, l' application l>. définie par
1
l>.(X) =
, dont l'ensemble de départ est IR si
- 1 + À.e- X
À ~ 0, IR - {ln À} si À> O.
•L'application (x ,y) f------+ y+ y 2 est de classe C
1 sur l'ouvert IR 2 .
Soit (xo.Yo) E IR 2 ; le théorème de Cauchy-Lipschitz
l
y'=y+y2
mo ntre que le problème de Cauchy Cx 0 .y 0
y(xo) = Yo
admet une solution maximale et une seule.
Si YO = 0 , il est clair que cette solution maximale est O.
Supposons YO i= O. L'équation l>.(xo) = Yo , d 'inconnue
1 + YO
À E IR, admet une solution et une seule, ÀQ = - - exo.
YO
Si ÀQ ~ 0, l>.o est solution de Cx 0 .y 0 sur IR, donc est la solution maximale de Cx 0 ,yo·
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0
c
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L'application le,>. ainsi obtenue est solution de (C), définie
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être prolongée en À en une fonction dérivable puisque
I l; >.(x)I ~ + oo.
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x 2 + y2
D'autre part, puisque l'application (x,y) f------+
est de
xy
classe C 1 sur l'ouvert (IR*) 2 , le théorème de Cauchy-Lipschitz
(8.2.1 3) Théorème p. 437) montre que le problème de Cauchy
l
' x
2 + y2
Y =
xy
admet une solution maximale et une seule, qui
y(xo) = Yo
est donc le,>. définie plus haut.
Réponse : les solutions sont les (restrictions à des intervalles
des) fonctions :
• ]À; +oo[---+ IR,
n-~15xJ2 1n f
• ] - oo; À[---+ IR,
x~15xJ2 1n f
(c,À) E { -1, 1} x IR~,
(c,À) E {-1,l} x IR~.
y
Allure des courbes intégrales
b) Raisonner comme dans a).
X
Réponse : Les solutions sont les (restrictions à des intervalles
des) fonctions le,>., (s,À)E{- 1, l} xIR*, définies sur
]
3
:; +oo[ si À> 0 , ] -oo;
3
: [ si À< 0 , telles que, pour
À > 0 par exemple, les courbes représentatives de 11 ,>. et
l-u sont les parties de la courbe (y>.) de représentation
, . {X = À( l + t + t
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,
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2 , t E u.., s1tuees e part et
y = Àt(l + t + t )
d'autre du point de (Y>.) à tangente parallèle à (y' y).
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X
Allure des courbes intégrales
c) Le changement de fonction inconnue z = x +y ramène
l'ED de l'énoncé à l'ED z' = ch z + 1 , qui est à variables
séparables ; de plus :
\:/t E IR, ch t + 1 # 0.
Réponse : les solutions maximales sont les
y : ]À - 1; À + 1 [-----+ IR, À E IR .
x - (À -1 )
x~ -x+ln (À+ l)-x
y
X
courbes intégrales
d) JI s'agit d'une ED de Bernoulli normalisée.
• Cherchons d'abord les solutions y sur un intervalle l telles
que:
\:/x E ! , y(x ) i= O.
l
Le changement de fonction inconnue z = - ramène à l'ED
y
linéaire du 1er ordre z' + z + 1 = 0, dont la solution générale est z : x f------+ - 1 +À e-x (À E IR), d 'où
y : X t---'? - - - -
- 1 + Àe-X
Considérons, pour À E IR, l' application l>. définie par
1
l>.(X) =
, dont l'ensemble de départ est IR si
- 1 + À.e- X
À ~ 0, IR - {ln À} si À> O.
•L'application (x ,y) f------+ y+ y 2 est de classe C
1 sur l'ouvert IR 2 .
Soit (xo.Yo) E IR 2 ; le théorème de Cauchy-Lipschitz
l
y'=y+y2
mo ntre que le problème de Cauchy Cx 0 .y 0
y(xo) = Yo
admet une solution maximale et une seule.
Si YO = 0 , il est clair que cette solution maximale est O.
Supposons YO i= O. L'équation l>.(xo) = Yo , d 'inconnue
1 + YO
À E IR, admet une solution et une seule, ÀQ = - - exo.
YO
Si ÀQ ~ 0, l>.o est solution de Cx 0 .y 0 sur IR, donc est la solution maximale de Cx 0 ,yo·
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