-0
0
c
:J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
Finalement, la température du point de la barre, d' abscisse x
et à l' instant t, est donnée par :
+oo
2
u (x, t ) = L bne11 1 sin nx
n= l
où, pour tout n de N* :
2 lorr
bn = -
f (y)sin ny dy.
n 0
Chapit.-e 8
Puisque f :
IR 2 -----+ IR
est de classe C 1 sur l'ouvert
(x , y)~ I+x2
l +x2+y2
IR 2 , pour tout (xo ,Yo) de IR 2 , le problème de Cauchy
1
y'=
1 + x
2
1 + x 2 + y2 admet une solution maximale et une
y(xo) = Yo
seule, notée ici y, e t l'intervalle de définition l de y est ouvert,
théorème de Cauchy-Lipschitz, 8.2. l 3) p. 4 37.
Supposons l majoré et notons f3 l'extré mité droite de !.
1 + x
2
Puisque y' =
2
2
~ 0 , y est croissante, donc admet
1 +x +y
en {3 - une limite finie ou + oo. D'après 8.2.l 4) a) Prop.
p. 437, y ne peut pas admettre de limite finie en {3 - , donc
Y ~ +oo .
p1 +x 2
Alors y' =
2
2
~ 0.
1 +x +y
pli existe donc a E ] - oo; {J [n / et M1 E IR+ tels que :
\lx E [a; {3[ , ly'(x)I ~ M1.
D'où, pour tout x de [a; {3 [ :
ly(x)I = ly(a ) + ix y' (t ) dtl ~ ly(a) I + ({3 - a )M1 ,
donc y est bornée au voisinage de {3 - , contradiction.
Ceci montre que l n'est pas majoré.
Puisque y est croissante sur l , y admet en +oo une limite
finie ou +oo .
1 +x 2
Si y ~ f, E IR,
alors
y' =
2
2
------+ 1 ,
+oo
l ± x ±y x ->+oo
d'où classiquement y (x) ~ + oo, car, pour a E I fi xé :
+oo
y(x) = y(a ) +lx y ' (t)dt . On en déduit une contradiction, et
on conclut: y(x) ~ + oo.
x ~+oo
a) • Soit y une solution sur un intervalle / . S'il existe XJ E I
tel que y(x 1) = 0 , alors
xf = XJY(X J )y' (x 1) - (y(x 1 )) 2 = O.
Ceci montre: \lx E IR* n /, y(x) # O.
• Résolvons l'ED sur un intervalle inclus dans ] - oo; O[ ou
dans ]O; too[.
Il s'agit d'une ED homogène ; on considère donc la fonction
y
t : X f----l> t = - .
X
L'ED donnée se ramène à tt'x = 1 , c'est-à-dire
t2
2 + C = lnlx l (CE IR), ou encore
t = sJ21n lil· (s E {- 1; l }, À E IR*) .
Notons f e,>.. : ]À; too[-----+ IR
X~E:XJ2 Jn f
si (s,À) E {-1 , l } X IR'ff e, >.. : ] - oo; À[ --+ IR
x~t:xJ2 1n f
si (s,À) E {-1 , 1} X IR~ .
• Soit (xo ,Yo) E IR 2 . Nous allons étudi er l'existence et la
valeur d'une solution maximale du pseudo-problème de
(
xyy' - (x 2 + y 2 ) = 0
Cauchy (C)
(l'ED de l'é noncé n'est
y(xo) = Yo
pas normalisée).
{
xo # 0
{ xo = 0
1) Si
ou
, il e st c. lair que (C) n'admet pas
Yo =O
Yo # O
de solution.
2) Cas xo = YO =O .
Supposons que (C) admette une solution y, définie sur un
intervalle l contenant 0 et, supposons, par exemple, que l soit
un voisinage à droite de O.
On a donc : y(x) = xy'(O) + o (x).
x ->0+
Si y'(O) # 0 , alors y(x ) ~ xy'(O), d'où
x -> 0+
x 2 + (y(x)) 2 ~ (i + (y' (0)) 2 )x 2
x->O+
et xy(x)y'(x) ~ y'(O)x 2 y'(x), donc
x -> 0+
'()
l ±(y'(0))
2
yx ~
x->O+
y'(O)
D'après le théorème « limite de la dérivée » , y' est alors
1 + (y'(0))
2
continue en 0 et y' (0) =
y' (O)
, contradiction.
Si y' (O) = 0 , alors y (x ) = o (x) et
x ->O+
xy(x )y'(x) = x 2 + (y(x )) 2 ~ x 2 ,
x ->0+
donc ly' (x)I ~ + oo. Il en résulte que y n'est pas dérix -> O+
vable en 0 à droite, contradiction.
On conclut que l'ED n'admet de solution sur aucun intervalle
contenant O.
3) Cas xo # 0 et YO # 0 .
On résout l'équation f e, >..(xo) = Yo, d'inconnue (s,À) dans
y2
{-1, l} x IR*, et on obtient s = sgn (~~ ) ·À= xo e-~.
0
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Puisque f :
IR 2 -----+ IR
est de classe C 1 sur l'ouvert
(x , y)~ I+x2
l +x2+y2
IR 2 , pour tout (xo ,Yo) de IR 2 , le problème de Cauchy
1
y'=
1 + x
2
1 + x 2 + y2 admet une solution maximale et une
y(xo) = Yo
seule, notée ici y, e t l'intervalle de définition l de y est ouvert,
théorème de Cauchy-Lipschitz, 8.2. l 3) p. 4 37.
Supposons l majoré et notons f3 l'extré mité droite de !.
1 + x
2
Puisque y' =
2
2
~ 0 , y est croissante, donc admet
1 +x +y
en {3 - une limite finie ou + oo. D'après 8.2.l 4) a) Prop.
p. 437, y ne peut pas admettre de limite finie en {3 - , donc
Y ~ +oo .
p1 +x 2
Alors y' =
2
2
~ 0.
1 +x +y
pli existe donc a E ] - oo; {J [n / et M1 E IR+ tels que :
\lx E [a; {3[ , ly'(x)I ~ M1.
D'où, pour tout x de [a; {3 [ :
ly(x)I = ly(a ) + ix y' (t ) dtl ~ ly(a) I + ({3 - a )M1 ,
donc y est bornée au voisinage de {3 - , contradiction.
Ceci montre que l n'est pas majoré.
Puisque y est croissante sur l , y admet en +oo une limite
finie ou +oo .
1 +x 2
Si y ~ f, E IR,
alors
y' =
2
2
------+ 1 ,
+oo
l ± x ±y x ->+oo
d'où classiquement y (x) ~ + oo, car, pour a E I fi xé :
+oo
y(x) = y(a ) +lx y ' (t)dt . On en déduit une contradiction, et
on conclut: y(x) ~ + oo.
x ~+oo
a) • Soit y une solution sur un intervalle / . S'il existe XJ E I
tel que y(x 1) = 0 , alors
xf = XJY(X J )y' (x 1) - (y(x 1 )) 2 = O.
Ceci montre: \lx E IR* n /, y(x) # O.
• Résolvons l'ED sur un intervalle inclus dans ] - oo; O[ ou
dans ]O; too[.
Il s'agit d'une ED homogène ; on considère donc la fonction
y
t : X f----l> t = - .
X
L'ED donnée se ramène à tt'x = 1 , c'est-à-dire
t2
2 + C = lnlx l (CE IR), ou encore
t = sJ21n lil· (s E {- 1; l }, À E IR*) .
Notons f e,>.. : ]À; too[-----+ IR
X~E:XJ2 Jn f
si (s,À) E {-1 , l } X IR'ff e, >.. : ] - oo; À[ --+ IR
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si (s,À) E {-1 , 1} X IR~ .
• Soit (xo ,Yo) E IR 2 . Nous allons étudi er l'existence et la
valeur d'une solution maximale du pseudo-problème de
(
xyy' - (x 2 + y 2 ) = 0
Cauchy (C)
(l'ED de l'é noncé n'est
y(xo) = Yo
pas normalisée).
{
xo # 0
{ xo = 0
1) Si
ou
, il e st c. lair que (C) n'admet pas
Yo =O
Yo # O
de solution.
2) Cas xo = YO =O .
Supposons que (C) admette une solution y, définie sur un
intervalle l contenant 0 et, supposons, par exemple, que l soit
un voisinage à droite de O.
On a donc : y(x) = xy'(O) + o (x).
x ->0+
Si y'(O) # 0 , alors y(x ) ~ xy'(O), d'où
x -> 0+
x 2 + (y(x)) 2 ~ (i + (y' (0)) 2 )x 2
x->O+
et xy(x)y'(x) ~ y'(O)x 2 y'(x), donc
x -> 0+
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2
yx ~
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y'(O)
D'après le théorème « limite de la dérivée » , y' est alors
1 + (y'(0))
2
continue en 0 et y' (0) =
y' (O)
, contradiction.
Si y' (O) = 0 , alors y (x ) = o (x) et
x ->O+
xy(x )y'(x) = x 2 + (y(x )) 2 ~ x 2 ,
x ->0+
donc ly' (x)I ~ + oo. Il en résulte que y n'est pas dérix -> O+
vable en 0 à droite, contradiction.
On conclut que l'ED n'admet de solution sur aucun intervalle
contenant O.
3) Cas xo # 0 et YO # 0 .
On résout l'équation f e, >..(xo) = Yo, d'inconnue (s,À) dans
y2
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