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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
d 'où:
1 la
1 l a
-
lf (t - v) - f(t) I Un(v) dv ~ - ·
&Un(v) dv
2n - a
2n - a
) l rr
~ ê -
Un(v)dv = êCQ(Vn) = ê.
2n -rr
On obtient:
Sup ICn(t) - f(t) I ~ (1+211 f lloo)e,
rd!.
et donc:
Sup ICn(t) - f(t) I----+ 0 ,
/ E~
noo
c ' est-à-dire que (Cn)neN converge uniformément vers f
sur IR.
On a ainsi démontré le théorème de Féjer :
Pour toute application continue et 2n-périodiquef, la suite des
sommes de Féjer de f converge uniformément versfsur IR , la
n-ème somme de Féjer de f étant Cn.
1) Soit u convenant.
• Soit t E [O; +oo[.
Prolongeons u(·,t) à IR en une application
g, : IR ----+ IR, 2n -périodique, impaire, telle que :
Vx E [O; n] , g,(x) = u(x,t).
Il est clair alors que g 1 est de classe C 1 sur IR .
Puisque g, est 2n-périodique et de classe C 1 par morceaux sur
IR, d 'après le théorèm e de Dirichet, la série de Fourier de g 1
converge simplement sur IR et a pour somme g 1 •
Comme g, est impaire, les coefficients de Fourier an (t) de g 1
sont nuls, et, pour tout n ~ 1:
2 lorr
2 lorr
bn(t) = -
g,(x)sin nxdx = -
u(x ,t)sin nxdx
n 0
n 0
•Soit n E N*.
Considérons Un: '6.----+ IR, (x,t) i--+ u(x,t) sin nx. Ona:
• Un est continue sur '6.
Bun
au
.
.
.
• -
: (x ,t) i--+ -(x,t) srn nx ex1steet estcontmuesur '6..
Bt
Bt
D ' après le théorème de dérivation sous le signe Io rr, i 1 en
résulte que bn : [O; +oo[----+ IR, t i--+ bn (t) est continue
s ur [0; +oo[, de classe c 1 s ur ]O; +oo[, e t pour tout
t E]Ü; +oo[:
21orr au
b~(t) = -
-(x ,t) sin nxdx
n 0 at
21orr a
2 u
= -
- 2
(x,t) sin nxdx
n 0 ax
= ~ ([au (x,t) sin nx]7T - rrr au (x,t)n cos nxdx)
n
at
0
lo at
= - ~ ([u(x,t) cos n x ] 0 + forr u(x ,t)n sin nxdx)
2n2 lorr
= - -
u(x,t) sin nxdx = -n 2 bn (t).
n 0
Par résolution d'une équation différentielle linéaire du second
ordre à coefficients constants et sans second membre, on obtient :
Vt E [0; +oo[,
Et:
2 lorr
21orr
bn (0) = -
u(x ,0) si n nxdx = -
f (x) si n nxdx.
n 0
n 0
D ' où, en notant, pour n EN*,
21orr
bn = -
f (x) sin nxdx :
n 0
'V(x,t) E '6. ,
+oo
2
u(x ,t) = L bne- nt sin nx.
n=1
2) Réciproquement, considérons, pour n E N*, l'application
111>
(
)
b _ ,,21 .
Un : ,6.----+ m., x,t i--+ ne
sm nx,
où:
bn = ~ r f (y)sin ny dy = ~ r go(y)sin ny d y
n lo
n lo
•Comme :
VEN*, 'V(x,t) E '6. , lun(x,t)I ~ lb,,I,
et que L Ibn 1 converge (puisque go est 2n-périodique, contin;. l
nue, et de classe c
1 par morceaux sur IR ), la série d 'applications L Un converge normalement, donc uniformément, sur
n
!:!,. , donc sa somme, notée u, est continue sur !:!,..
• Fixons a E]O; +oo[.
Bun Bun a
2 un
Pour chaque n de N*, - , - , - 2
- existent et sont contiBt Bx ax
nues sur '6., et, pour tout n E N* et (x, t) E '6. :
L
Bun L Bun L a
2
un
donc les séries d ' applications
- ,
- ,
- 2
- sont
Bt
Bx
ax
11 ;. 1
11 ;. 1
11;. 1
normalement, donc uniformément, convergentes sur '6..
au au a 2 u
Il en résulte, d'après un théorème du cours, que-,- , - 2
at ax ax
existent et sont continues sur '6., et que, pour tout
(x ,t) E '6.:
Enfin:
a +oo
a2
u
' °"" 2 -n2t .
u
- = L -n b 11 e
stn nx = 2
(x ,t).
Bt
n= I
Bx
l
Vt E]O; +oo[, u(O,t) = u(n,t) = 0
+oo
'Vt E]O; n[, u(x,0) =Lb,, sin nx = f(x).
11=!
1 737
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On a ainsi démontré le théorème de Féjer :
Pour toute application continue et 2n-périodiquef, la suite des
sommes de Féjer de f converge uniformément versfsur IR , la
n-ème somme de Féjer de f étant Cn.
1) Soit u convenant.
• Soit t E [O; +oo[.
Prolongeons u(·,t) à IR en une application
g, : IR ----+ IR, 2n -périodique, impaire, telle que :
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Il est clair alors que g 1 est de classe C 1 sur IR .
Puisque g, est 2n-périodique et de classe C 1 par morceaux sur
IR, d 'après le théorèm e de Dirichet, la série de Fourier de g 1
converge simplement sur IR et a pour somme g 1 •
Comme g, est impaire, les coefficients de Fourier an (t) de g 1
sont nuls, et, pour tout n ~ 1:
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• Un est continue sur '6.
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résulte que bn : [O; +oo[----+ IR, t i--+ bn (t) est continue
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Par résolution d'une équation différentielle linéaire du second
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• Fixons a E]O; +oo[.
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