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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1
( ., ei<11+ l )1_ 1)
= -
l m e
1 ~ -~ . -sin:_
e11 - 1
2
· !!±.!
n+ 1
1
(
e
1
2
1
2i sin - - t )
= - - lm ei ~
2
t
. (
t
sin -
e
1 22isin -
2
2
1
(
.
s in"+ ! t) ( sin
11 +
1
t)
2
1"+ 1 t
2
2
= - - lm e 2
=
. t
. t
. t
Stn -
Stn -
Stn -
2
2
2
!. b) Soient n EN, t E Da. O n a :
. n + 1
-
l ( Stn - 2 - t) 2
l
1
0 ::0:: U11Ct) - - -
t
::0:: - - - -a -,
n + l
s in -
n + l sin2 -
2
2
d'où, pour tout n E N :
l
l
Sup IUn(t) I::;:; - - - -a - ,
t E D a
n + l sin22
et donc:
Sup IV11(t) I ----+ 0,
I E D a
noo
ce qui montre que la suite (U 11 ) 11 EN converge uniformé ment
vers 0 sur Da.
Il. a) 1) O n a, pour tou t n E N et tout t E IR :
Il
(
1 rrr
)
Sn(t) = k~n 2rr 1-rr f(s)e - iks d s eikr
= -
f(s)
L e ik(r-s) d s
1 1 71:
( Il
)
2rr - rr
k=- n
1 1 71:
= -
f(s)un(t - s) ds
2rr -rr
l f 1- 71:
= - -
f(t - v)u,,(v) dv
v=t+s 2rr t+rr
= -
1
r f(t - v)un(v) dv ,
2rr 1-rr
car l'application i-----+ f(t - v)u 11 (v) est 2rr-périodique.
Tl. a) 2) O n a, pour tout n E N et tout t E IR :
1
,,
C11Ct) = -
L: Sk(t)
n + 1 k=O
1
n 1 l rr
= - - L: -
f(t - v)uk(v)dv
n + 1 k=Ü 2rr -rr
1 1 71:
( l
11
)
= -
f(t- v) - - L: uk(v) d v
2rr - rr
n + l k=O
1 1 71:
= -
2
f(t - v)Un(v)dv.
1T -71:
Il. a) 3) O n a, pour tout n E N et tout t E IR :
ICn(t) - f(t) I = ICn(t ) - coCUn)f(t)I
= I_!__ f rr f(t - v )Un(v)d v - ___!__ !
71
f(t)U 11 (v)dvl
2rr -rr
2rr _ 71
= 1 -
1
r (.f(t - v) - f(t)) U11 (v)dv l
2rr 1-71
::;:; -
1
r l f(t - v) - f(t)I U,,(v) d v
2rr 1- 71
en remarq uant que U 11 est à valeurs posi tives ou nulles.
Il. b) Soit s > O. P uisque f est continue sur le segment
[ -rr; rr + 1], d 'après le théorème de Heine, il existe T/ > 0
te l que:
'V(x
1 ,x
11
) E [-rr - l; rr + 1) 2 ,
Clx' - x
11 I ::;:; TJ ==> l/Cx' ) - f(x" ) I ::;:; s) .
Notons ri' = Mi n(ry, l) > O.
Soit (t', t") E IR 2 tel que lt' - t
11 I ::;:; ry' .
Puisque lt' - t"I::;:; l il existe (x' ,x") E [-rr - 1; rr + 1) 2 et
k E Il tels que
x' = t' - 2krr, x" = t
11
-
2krr.
O n a alors:
lx ' -x11 I = lt ' -1111 : : ; : ; TJ,
do nc, par 2rr-périodic ité def:
l f(t ') - f(t
11 )I = lf(x' ) - f(x " ) I ::0:: s.
Ainsi :
V > 0, 31,' > 0, 'V(t
1 ,t
11
) E IR 2
c1 1' - t"I::;:; ry' ==> lfCt') - !Ct"> I : : ; : ; s),
et doncf est uniforméme nt continue sur IR .
Il. c) Soit s > 0 fixé. Notons T/ > 0 associé à s dans la continuité unifo rme def sur IR .
Soit a E]Ü; rr [ à choisir ultérieurement.
D 'après 1. b), il existe NE N tel que :
'Vn ?: N, 'Vt E IR, IU 11 (t) I ::0:: ê .
Soient n EN tel que n ::;:; N, et t E IR . D 'après Tl. a) 3):
1 1 71
IC11(t) - f(t) I ::;:; -
l f(t - v) - f(t) IUn(v)dv.
2rr _ 71
D ' une part:
1 1 71
-
lf (t - v) - f(t)IUn(v) d v
2rr a
1 1 71:
::0:: -
(lf(t - v) I + l/(t)I) Un(v)dv
2rr a
1
::0:: 2
rr (rr - a)2 ll f lloo ::0:: ll f lloos,
et de même pour l' intégrale de -rr à -a.
D'autre part, en choisissant a tel que a ::;:; ~,on a :
'V(t
1 ,t
11
) E [-a; a ]
2 , lt' - t "I::;:; 2a ::;:; TJ,
do nc:
'V(t
1 ,t
11 ) E [- a; aJ2 , lf(t') - f(t
11 )I ::0:: s,
0
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. n + 1
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l ( Stn - 2 - t) 2
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d'où, pour tout n E N :
l
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et donc:
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noo
ce qui montre que la suite (U 11 ) 11 EN converge uniformé ment
vers 0 sur Da.
Il. a) 1) O n a, pour tou t n E N et tout t E IR :
Il
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Sn(t) = k~n 2rr 1-rr f(s)e - iks d s eikr
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1 1 71:
( Il
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2rr - rr
k=- n
1 1 71:
= -
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= - -
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= -
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2rr 1-rr
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1 1 71:
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1T -71:
Il. a) 3) O n a, pour tout n E N et tout t E IR :
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= I_!__ f rr f(t - v )Un(v)d v - ___!__ !
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Il. b) Soit s > O. P uisque f est continue sur le segment
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'V(x
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Soit (t', t") E IR 2 tel que lt' - t
11 I ::;:; ry' .
Puisque lt' - t"I::;:; l il existe (x' ,x") E [-rr - 1; rr + 1) 2 et
k E Il tels que
x' = t' - 2krr, x" = t
11
-
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O n a alors:
lx ' -x11 I = lt ' -1111 : : ; : ; TJ,
do nc, par 2rr-périodic ité def:
l f(t ') - f(t
11 )I = lf(x' ) - f(x " ) I ::0:: s.
Ainsi :
V > 0, 31,' > 0, 'V(t
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