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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
converge simple ment vers f * f sur lR (il y a même convergence normale, cf. 7.3.1 Th. p. 420).
D'après 2) a) 4): Vn E Z , cnU * f) = (cn(f)) 2 .
E n utilisant les résu ltats de 2) c) a), obtient alors :
Vt E JR, (f * f)(t)
= (%)
2 +2; c-;:2-l r cosnt
_ n
2 +_!_ ~ cos(2p + l )t
- 4
n2 p=O (2 p + 1)4 .
En particulier, en remplaçant t par 0 :
+ oo
1
n2 ( n2
n2)
n4
: ; (2p + 1)4 = 8 3 - 4 = 96 .
•De même, puisque f * f E Cr c Vr, le théorème de Parseval
donne:
1 f ]f
2
2n 1-rr ( (f * f)(t) ) dt
2 +oo
= lco (f *n i + L (icnU * !)1
2 + lc- nU * n 1
2
)
n= I
= (%)4 +2; c-;:2-1 t
n 4
32 +oo
1
= 16 + n4 ?; (2 p + 1)8'
1 r (
)2
et 2n 1-rr (f * f)(t) dt
= -
- - (2t 3 - 3nt 2 + 2n 3 ) 2 dt
1 !o]f 1
n O 36n2
83n 4
= 35 . 36'
d'où l'on déduit la valeur de
Réponse:
+oo
1
n4
: ; (2p + 1)4 = 96 ,
+ oo
1
: ; (2p + 1)8.
+oo
l
17n 8
: ; (2p + 1)8 = 161 280"
3) a) Supposons qu'il existe é E Cr tel que :
V f E Cr, f * é = f.
En particulier: Vn E Z, en * é =en, et donc:
Vn E Z, c,,(é ) =(en* e)(O) = en(O) = 1.
Mais, d'après le théorèm e de Parseval, comme e E Vr,
L lcn(é)l 2 converge, do nc Cn(é)----+ 0, contradiction.
nez
noo
b)Pourtout(p,q) de Z 2 telquep#q , ona: VtE lR,
(ep * eq)(t) = (~for ei(p- q)wu du) eq (t) = 0.
En particulier : eo * e1 = 0 , eo -:/= 0, e 1 -:/= 0.
Réponse : oui.
4) a) • Soit! E Cr telle que f * f = f. On a alors:
Vn E Z , Cn (f) = Cn(f * f) = (cn(f)) 2 ,
donc: Vn E Z , c,, (f) E {0, l} .
Mais, comme f E Cr C V r , c,, (f) -----+ 0 et
n-->+oo
en (f) -----+ O. JI ex iste do nc une partie finie X de Z telle que :
n ~- oo
f= L e,,.
11 E X
•La réciproque est immédiate.
Réponse: { L en ; X partie finie de Z } .
ne X
/.a) 1) On a, pour tout n EN :
(
l
n
)
1
11
co(U,, ) = co - - (L:u k) = - - L: co(uk).
n + 1 k= Ü
n + 1 k = Ü
Et, pour tout k E N :
CQ(Uk) = _l r Uk(t)dt = ~ l rr ( t ej(t) )dt
2n 1-rr
2n -rr J= - k
= _l t l rr eijr dt .
2n i=-k - rr
Si j -:/= 0 alors f rr e ifr dt = [e.iJr ] rr = O
- rr
IJ
- Jr
Si j # 0 alors f rr eijt dt = 2n.
- Jr
D ' où : Vk EN, co(uk) = 1,
puis: Vn E N, co(Un) = 1,
/. a) 2) On a , pour tout n E N et tout t E lR - n Z :
n
.
.
2n .
. ei(2n+ l )t _ 1
u,, (t) = L e 1k1 = e - 1111 Le1k1 = e - 1111 _ __ , - - - - -
k=- n
k=O
e
11
- 1
i(n+ !) r .. (
l)
. e
2
21 sm n + - t
- Ill(
2
= e
sin (n + ~) t
• 1
t
e' 2 2i sin2
. t
sm2
/.a) 3) On a , pour tout n E N et tout t E lR - n Z :
n
n sin (k +Dt
(n + l )Un(t) = L Uk(t) = L
t
k=O
k=O
sin -
2
= __ 1 _ 1m( ~ ei(k+ 1)1 ) = _ l_ rm(ei 1 ~ eikr)
sm.!..
L
. t
L
2
k=O
smk=O
2
1 735
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D'après 2) a) 4): Vn E Z , cnU * f) = (cn(f)) 2 .
E n utilisant les résu ltats de 2) c) a), obtient alors :
Vt E JR, (f * f)(t)
= (%)
2 +2; c-;:2-l r cosnt
_ n
2 +_!_ ~ cos(2p + l )t
- 4
n2 p=O (2 p + 1)4 .
En particulier, en remplaçant t par 0 :
+ oo
1
n2 ( n2
n2)
n4
: ; (2p + 1)4 = 8 3 - 4 = 96 .
•De même, puisque f * f E Cr c Vr, le théorème de Parseval
donne:
1 f ]f
2
2n 1-rr ( (f * f)(t) ) dt
2 +oo
= lco (f *n i + L (icnU * !)1
2 + lc- nU * n 1
2
)
n= I
= (%)4 +2; c-;:2-1 t
n 4
32 +oo
1
= 16 + n4 ?; (2 p + 1)8'
1 r (
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et 2n 1-rr (f * f)(t) dt
= -
- - (2t 3 - 3nt 2 + 2n 3 ) 2 dt
1 !o]f 1
n O 36n2
83n 4
= 35 . 36'
d'où l'on déduit la valeur de
Réponse:
+oo
1
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: ; (2p + 1)4 = 96 ,
+ oo
1
: ; (2p + 1)8.
+oo
l
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: ; (2p + 1)8 = 161 280"
3) a) Supposons qu'il existe é E Cr tel que :
V f E Cr, f * é = f.
En particulier: Vn E Z, en * é =en, et donc:
Vn E Z, c,,(é ) =(en* e)(O) = en(O) = 1.
Mais, d'après le théorèm e de Parseval, comme e E Vr,
L lcn(é)l 2 converge, do nc Cn(é)----+ 0, contradiction.
nez
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b)Pourtout(p,q) de Z 2 telquep#q , ona: VtE lR,
(ep * eq)(t) = (~for ei(p- q)wu du) eq (t) = 0.
En particulier : eo * e1 = 0 , eo -:/= 0, e 1 -:/= 0.
Réponse : oui.
4) a) • Soit! E Cr telle que f * f = f. On a alors:
Vn E Z , Cn (f) = Cn(f * f) = (cn(f)) 2 ,
donc: Vn E Z , c,, (f) E {0, l} .
Mais, comme f E Cr C V r , c,, (f) -----+ 0 et
n-->+oo
en (f) -----+ O. JI ex iste do nc une partie finie X de Z telle que :
n ~- oo
f= L e,,.
11 E X
•La réciproque est immédiate.
Réponse: { L en ; X partie finie de Z } .
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/.a) 1) On a, pour tout n EN :
(
l
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)
1
11
co(U,, ) = co - - (L:u k) = - - L: co(uk).
n + 1 k= Ü
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Et, pour tout k E N :
CQ(Uk) = _l r Uk(t)dt = ~ l rr ( t ej(t) )dt
2n 1-rr
2n -rr J= - k
= _l t l rr eijr dt .
2n i=-k - rr
Si j -:/= 0 alors f rr e ifr dt = [e.iJr ] rr = O
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IJ
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D ' où : Vk EN, co(uk) = 1,
puis: Vn E N, co(Un) = 1,
/. a) 2) On a , pour tout n E N et tout t E lR - n Z :
n
.
.
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u,, (t) = L e 1k1 = e - 1111 Le1k1 = e - 1111 _ __ , - - - - -
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• 1
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n sin (k +Dt
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t
k=O
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