"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
2) a) l) Cn(j) = _.!:._ {T f(t) e - inwt dt= (f * en)(O).
T Jo
2) Vt E IR, (en* en)(t)
= _
e'nwueinw(t-u) du = e'nwt = en (t).
1 loT . .
.
T o
3) Vt E IR,(f * en)(t) = ~ foT f (u) einw(l-u) du
(
1 { T
.
) .
= T Jo f(u) e-inwu du e'nw1= cn(f) en(t).
4) Cn(f * g) =(Cf* g) * en)(O)
= (u *en)* (g * e,.))(0)
= ( (cn(f)e,.) * ( cn(g)en ) )
b) Vn E Z,
c,. ((f * g) * h) =en Cf* g)cn(h) = (c,.(f)cn(g))c,,(h)
= cn(f)(cn(g)cn(h) )= c,.Cf)cn(g * h) = c,, (! * (g * h)),
d'où, d'après le théorème de Parseval :
I l u * g) * h - 1 * (g * h) Il~
+oo
2
= L lcn (Cf*g)*h)- cn(!*(g* h))I =0,
n=-oo
et donc (f * g) * h = f * (g * h) .
c) a) Il est clair que: f E C2rr C D2rr·
On a, pour tout n de Z* :
Cn(f) = -
f(t) e- int dt
1 frr
.
2rr - rr
= - ·
(-t) e- ini dt +
t e - ini dt
1 (! 0 . lorr . )
2rr
- rr
O
1 lorr
1 lorr
= -
tcosntdt=- -
sinntdt
rr 0
TCn 0
(-l)ll -1
1-~
=
=
TCn2
rrn2
0
si n est impair
sin est pair
1
Et co(f) = 2
TC
ltl dt= ~
t dt= - .
f
rr
] lorr
TC
-rr
TC Q
2
sin E Z*
sin= 0
f3) 1) On sait que f * f est 2rr-périodique. De plus, f * f est
paire puisque, pour tout t de IR :
1 frr
(f * f)(-t) = -
f(u)f(-t - u) du
2TC -rr
1 frr
= -
f(-u)f(t + u) du
2TC -rr
1 f rr
= -
. j(v)f(t - v) dv
v=-u 2rr - rr
= (f * f)(t).
2) Pour t E [0; rr], le calcul de (f * j)(t) (à partir de la définition) demande de l'attention :
] frr
(f * f)(t) = -
f(u)f(t - u) du,
2TC -rr
et il nous faut remplacer f (u) etf (t - u) par leurs valeurs, suivant la situation de u. On peut décomposer l'intervalle d'intégration [-rr ; rr] en quatre intervalles consécutifs limités par :
-TC, t - TC, 0, t, TC, d'où:
1 (!1-rr
(f * f)(t) = -
(-u)(2rr - (t - u)) du
2rr
-rr
+ 1°(-u)(t - u) du+ [1 u(t - u) du
1 -rr
Jo
+ 1:(-(t - u)) du).
Des changements de variables convenables donnent :
(f * f)(t) = -
1
( [1 (TC - v)(TC - t + v) dv
2TC Jo
+ 1rr(v-t)vdv+ fo
1
u(t-u)du+ 1rr u(-t+u)du)
=
2 ~ (fo
1
( TC(TC - t) + 2tu - 2u
2 ) du
+21" u(u-t)du)
1 ([
2 2 3]
1
= -
rr(TC - t)u +tu - - u
2TC
3
o
[
u3
tu2 ]rr)
+2 - - -
.
3
2
1
Réponse: f * f est 2rr-périodique, paire, et:
1
Vt E [0; rr], (f * f)(t) = - (2t 3 - 3TCt2 + 2TC3).
6rr
,
,
y
0
TC
Représentation graphique def *f
' '
y) • Puisque f * f E CT C DT et que f * f est de classe C 1
par morceaux sur IR (et même de classe C 1 sur IR), le théorème
de Dirichlet montre que la suite (Sn (f * f)) 11 eN définie par:
n
Vn EN, Sn(f * f) = L q(f * f)ek
k=-n
0
c
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2) a) l) Cn(j) = _.!:._ {T f(t) e - inwt dt= (f * en)(O).
T Jo
2) Vt E IR, (en* en)(t)
= _
e'nwueinw(t-u) du = e'nwt = en (t).
1 loT . .
.
T o
3) Vt E IR,(f * en)(t) = ~ foT f (u) einw(l-u) du
(
1 { T
.
) .
= T Jo f(u) e-inwu du e'nw1= cn(f) en(t).
4) Cn(f * g) =(Cf* g) * en)(O)
= (u *en)* (g * e,.))(0)
= ( (cn(f)e,.) * ( cn(g)en ) )
b) Vn E Z,
c,. ((f * g) * h) =en Cf* g)cn(h) = (c,.(f)cn(g))c,,(h)
= cn(f)(cn(g)cn(h) )= c,.Cf)cn(g * h) = c,, (! * (g * h)),
d'où, d'après le théorème de Parseval :
I l u * g) * h - 1 * (g * h) Il~
+oo
2
= L lcn (Cf*g)*h)- cn(!*(g* h))I =0,
n=-oo
et donc (f * g) * h = f * (g * h) .
c) a) Il est clair que: f E C2rr C D2rr·
On a, pour tout n de Z* :
Cn(f) = -
f(t) e- int dt
1 frr
.
2rr - rr
= - ·
(-t) e- ini dt +
t e - ini dt
1 (! 0 . lorr . )
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- rr
O
1 lorr
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tcosntdt=- -
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TCn 0
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TCn2
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si n est impair
sin est pair
1
Et co(f) = 2
TC
ltl dt= ~
t dt= - .
f
rr
] lorr
TC
-rr
TC Q
2
sin E Z*
sin= 0
f3) 1) On sait que f * f est 2rr-périodique. De plus, f * f est
paire puisque, pour tout t de IR :
1 frr
(f * f)(-t) = -
f(u)f(-t - u) du
2TC -rr
1 frr
= -
f(-u)f(t + u) du
2TC -rr
1 f rr
= -
. j(v)f(t - v) dv
v=-u 2rr - rr
= (f * f)(t).
2) Pour t E [0; rr], le calcul de (f * j)(t) (à partir de la définition) demande de l'attention :
] frr
(f * f)(t) = -
f(u)f(t - u) du,
2TC -rr
et il nous faut remplacer f (u) etf (t - u) par leurs valeurs, suivant la situation de u. On peut décomposer l'intervalle d'intégration [-rr ; rr] en quatre intervalles consécutifs limités par :
-TC, t - TC, 0, t, TC, d'où:
1 (!1-rr
(f * f)(t) = -
(-u)(2rr - (t - u)) du
2rr
-rr
+ 1°(-u)(t - u) du+ [1 u(t - u) du
1 -rr
Jo
+ 1:(-(t - u)) du).
Des changements de variables convenables donnent :
(f * f)(t) = -
1
( [1 (TC - v)(TC - t + v) dv
2TC Jo
+ 1rr(v-t)vdv+ fo
1
u(t-u)du+ 1rr u(-t+u)du)
=
2 ~ (fo
1
( TC(TC - t) + 2tu - 2u
2 ) du
+21" u(u-t)du)
1 ([
2 2 3]
1
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2TC
3
o
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u3
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+2 - - -
.
3
2
1
Réponse: f * f est 2rr-périodique, paire, et:
1
Vt E [0; rr], (f * f)(t) = - (2t 3 - 3TCt2 + 2TC3).
6rr
,
,
y
0
TC
Représentation graphique def *f
' '
y) • Puisque f * f E CT C DT et que f * f est de classe C 1
par morceaux sur IR (et même de classe C 1 sur IR), le théorème
de Dirichlet montre que la suite (Sn (f * f)) 11 eN définie par:
n
Vn EN, Sn(f * f) = L q(f * f)ek
k=-n